Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

.pdf

Скачиваний:

844

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

21.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4524 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

f 12] ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И БЕ ПРИМЕНЕНИЯ 231

Тем самым формула	доказана	при п •» 1. Так как
б(/(«)) "» 0 При X Ф X),	] =• 1, . . ., П,	ТО

по доказанному выше.

Формула из п. 7° верна и в том случае, когда функция fix) имеет бесконечно много нулей, и все они изолированы. Например,

Приведем еще одну формулу, связанную с дельтафункцией. Пусть п > 1 — целое число, тогда

Действительно,

J х% (х) ф(х) dx - a;n<p(«)'U-o " О-

— 00

Формул Iе — V вполке достаточно для решения большинства прикладных задач, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями.

2. Толчки, Принцип Дюамеля. Рассмотрим уравнение

			^	+ в(0"-^ + 6 ( « ) * - Г в ( # - « в ) 1					(10)
где	V Ф 0 — постоянная,				функции а(*), Ш) непрерывны
на всей оси, для простоты.						При	1Ф^ функция хШ
удовлетворяет однородному уравнению
				$		+ Ь«)х-О.			(И)
Покажем,			что	если x(t) — решение			уравнения		(10),то
x(t)	удовлетворяетуравнению					(И)	/г/?а t¥*U и следую-
щим краевым условиям:
хr(t	л.п\и	в	T(t	и 0\	Й	=*	Tt	- 0 )	, fу
\h + )			* (^0 — )>						*"

Здесь обозначено ^ fe ± 0) = lim ж(f0 ± т) и т. д.

232	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ	1ГЛ. 3
	Действительно, решение x(t) непрерывно на полуосях

t < U и t > t0. Далее, эта функция должна быть непрерывна при t = t0 — в противном случае производная jp была бы суммой обычной функции и функции АШ — Ц), АФО (см. 3°), а функция —%•содержала бы слагаемое

A6'(t —10) и потому левая часть уравнения (10) не совпала бы с правой. Итак, x(to +O) =.г(£о —0), но* производная x(t) может иметь конечный скачок в точке t0. Проинтегрируем обе части уравнения (10) по интервалу Uo— т, t0 +т), т > 0, тогда получим

b{t')z(t'))dt'

Перейдем в этом равенстве к пределу при т -*- 0, тогда интеграл обратится в нуль (подынтегральная функция ограничена) и мыполучим

Тем самым условие (12) получено.

Если рассматривать x(t) как координату точки, движу-

щейся	по оси х, то соотношения (12) означают, чтов
момент	времени t = t0 координата точки не меняется,
а скорость получает конечное приращение V. Такоевоз-

действие на точку называется в механике и физикетолчком (или мгновенным удйром); например, это резкий удар кием по биллиардному шару).

Толчок можно получить как результат предельного йерехода. Рассмотрим уравнение

+ a{t)§

где 6XU) = 0 при U - to\ > т и 6М) = 1/(2т) при Н - tj <
< т. Правая	часть	есть большая	постоянная	сила FT,
действующая	малое	время, причем	так, что	интеграл

J Fxdx = V Ф 0 (импульс конечен). Решив это уравне-

ние и перейдя к пределу прит -* +0, получим, чтопредельная функция x(t) будет решением уравнения (10). Но ценность дельта-функции в том и состоит, что ее при-

§ I2J

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

233

менение^ позволяет избежать необходимости каждый раз совершать предельный переход — этот предельный переход содержится в самом определении дельта-функции (см. (7)).

Найдем результат воздействия толчка. Рассмотрим задачу Кошп

*xl

(13)

для уравнения (И), и пусть xo(t) —решение этой задачи,
определенное при —°° </<<». Положим
хШ = ХоШ+ VG(t, to),	(14)

где x(t) — решение уравнения (10) с данными Коши (13). Тогда для функции G получим задачу Коши

			= 0,	t>tof
		dGlt, t		(15)
		dGlt, t
I \ I __	= 0		v <	= 1.
Кроме того,
Git,	U)**0,		< 0 .	(16)

Функция Git, t0) — это результат воздействия единичного
толчка	(т. е. У = 1) на систему. Заметим, что G не зави-
сит от	данных Коши (13)		(т. е. не зависит				от того, как
двигалась точка при		t<t0).
Функция G(t, t0) называется функцией Грина уравне-
ния (10) и может быть найдена, если известна фундамен-
тальная система решений х&), x2it)				однородного уравне-
ния (11). Так как G удовлетворяет				этому уравнению при
t > t0, то
	Git, t0) = CixAt) + C2x2it),				t >	h,
где Cu	C2 — постоянные.		Данные	Коши		(15) приводят
к системе уравнений
	\JC\\IQ) "Г ls2X2\I>o) —		U, Is\X\\IQ)	I LS2X2\IQJ			~— 1,
откуда	находятся Ch	C2, и мы получаем
	G						(17)
Здесь	w(t) — вронскиан решений х{Ш,				x2(t).		При t<U
имеем G(t, tti) « 0 .

234	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ				[ГЛ. 3
Отметим	также,	что GU, U) есть		решение уравнения
	dt2	&
равное нулю при t <		t0.
Если функция Грина известна, то можно найти реше-
ние неодйородного уравнения
	+ a(t)g + b(t)x			f(t)	(19)
с любой (непрерывной) правой частью /ft).
Теорема . Функция
		I			(20)
	x(t)=)G(t,t')f(t[)dt'				(20)
		'о
удовлетворяет уравнению (19)			при	t>t0 и нулевым дан-
ным Коши при t = tu:
	* ( * • ) - 0 f		i ( * e ) - 0 .		(21

Прежде чем привести строгое доказательство, приведем формальное. Так как GU, *') в О при % < U, то

Формально дифференцируя под знаком интеграла, получаем

так что x(t) — решение уравнения (19).

Теперь строгое доказательство. Имеем x{t0) = 0. Далее,

Так как G(tt t) — 0, то

§ 12] ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 235

так что

	t
lx (0 - /(t) + J Ifi (t, tf) 1(*') df			- / (<),
поскольку	подынтегральное	выражение	равно		нулю
(см. (15)).
Правая часть формулы (20) — это континуальная					(т. е.
непрерывная) сумма толчков. Они совершаются				в момент
ты времени	t\ с плотностями	f{t')dt\ где t'		пробегает

интервал (0, t). Итак, результат воздействия на частицу непрерывно действующей силы /Ш эквивалентен воздей-

ствию континуальной суммы	последовательных	толчков.
Этот факт (а точнее, формула	(20)) называется	принци-
пом, Дюамеля.
З а м е ч а н и е 1. Формулы	(20), (17), дающие	частное

решение уравнения (19), совпадают с полученными в § 7

формулами	(16)	для	частного	решения неоднородного
уравнения	второго	порядка.
З а м е ч а н и е		2.	Рассмотрим	нелинейное уравнение

с дельта-функцией в правой части:

Тем же способом, что и выше, можно показать, что xii) удовлетворяет уравнению

при 1ФГЬЖ условиям (12) при t = tQ.

Приведем аналогичные результаты для линейного уравнения п-топорядка

где F ^ O , коэффициенты аМ), ..., an(t) непрерывны на всей прямой, для простоты. Тогда функция x{t) удовлетворяет однородному уравнению

236

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ

(ГЛ. 3

при t Ф10 й условиям

иП—2

В данном случае функция Грина G(t, t0) есть решение задачи Коши

IGU,

л, dG

равное нулю при ^ < о. Функция

при удовлетворяет неоднородному уравнению

и данным Коши

dx	0.

	«-«о
З а м е ч а н и е 3. Рассмотрим систему из п уравнений
£j£+ A{t)d£- + В (t)x = V6(t - t0).
Здесь Ait), В it) — непрерывные ЫХ гс)-матрицы и V —

постоянный n-вектор. Тогда решение #(£) удовлетворяет

однородной системе lx (t) = 0 при t¥=t0			и соотношениям
(12). Роль	функции	Грина играет	(п X га)-матрица
GU, £0) — матрица Грина, которая при			t > t0	есть реше-
ние задачи Коши
и равна нулю при £< t0.		Здесь 0, / — нулевая		и единич-
ная ЫХгс)-матрицы. Теорема 1 остается в силе (в фор-»
муле (20), /	есть тг-вектор), но формула		(17) уже не име-
ет места.

§ 12]	ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ	237
3. Периодические толчки в системах с трением. Рас-
смотрим однородное уравнение
	х + ах + Ъх= 0,	(22)
где а,	Ъ— вещественные постоянные. Пусть	а > 0 ,

а2 —46 < 0; тогда это уравнение описывает гармонические

или затухающие	колебания (гл. 1, § 6).				Пусть на систе-
му действуют толчки в последовательные					моменты време-
ни U < tx < ... < tn < ... -> 4-о°,				дающие	положительные
приращения скорости Уо,		Vu	...,	Vn, ... Тогда будет про-
исходить борьба	между	трением (при			а > 0 ) , которое

стремится уменьшить амплитуду колебаний, и толчками, которые стремятся их увеличить. Выясним, к чему приводит эта борьба.

Сформулируем математическую постановку задачи.

Зададим данные Коши #(£)= #0, iU) — ^; t*<t0.	При
t > t* функция x(t) удовлетворяет уравнению
х + ах + Ъх = 2 vkf> {t - h).	(23)

Если xo{t) — решение задачи Коши для однородного уравнения (22), определенное при t* ^ t < <», то решение задачи Коши для уравнения (23) равно

Не следует пугаться бесконечного ряда: если фиксировать момент времени * = ?>**, то останется лишь конечная сумма

так как G(f, ff e )^0 при t<tk (см. (16)). Уравнение (22) имеет решения

ехр {-б(* - f0)} cos со(^— *<>), ехр {-б(* - fo)> sin (o(« - *„),

где обозначено

б « а/2, со— 1Ь - а74,

238 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 1ГЛ.-3

и из формулы (17)	находим
G & *„) -	ехр { - б {t - f0)} S i °Ю(<~ *о)
при t>t0. Итак, если £ n - i <t<t n , то
y2Bin(u{t-tk). (24)
Упростить эту	сумму для любых th, Vk	невозможно,
и мы ограничимся	случаем, когда все толчки одинаковы

и совершаются через равные промежутки времени:

Результат воздействия периодических толчков существенно зависит от того, совпадает ли период Т толчков с периодом То свободных колебаний.

Сумма из правой части (24) равна

n-i

Sn я.— e~bt Im 2* е х Р {*тв} е х Р {'® (* — Ат)Ь

Под знаком мнимой час^и стоит сумма геометрической прогрессии со знаменателем q «** ехр {т(б —tco)}, так что

				(25)
Iе . Пусть	6 = 0 (свободные	колебания — гармониче-
ские), но ? ^	1, т. е. т не имеет	вид	2пп/(0 »пГ0 ,	п -»-
целое число.	Это означает, что период		толчков не	есть

целое кратное периода свободных колебаний. Преобразуя правую часть (25)i

ехр

и используя формулы Эйлера, получаем, что при tn-i <

<t<tn

IMOT

§ 121 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 239

Поэтому результат воздействия толчков* есть гармоническое колебание с амплитудой

СО

Пусть, для простоты, число сот/(2я) иррационально. Тогда
. лсотI
Isiii-Tj--	может принимать			значения, сколь
угодно близкие к любому		числу а, лежащему на отрезке
О< а < 1 (гл. 1, § 7), так что			амплитуда Ап		может при-
нимать значения, сколь угодно			близкие к любому числу,
заключенному в отрезке		О, V ( со sin-~		)	• Это явление

биений, о котором говорилось в гл. 1, § 7.

2°. Пусть 6 = 0, т. е. свободные колебания — гармонические, а период толчков совпадает с периодом свободных колебаний, т. е. т = 2я/со. Тогда ехр {—шк%) — li так что при tn-i<t<tn получаем

я (0 — xQ {t) + ^j-sin co£.

Амплитуда	Ап==пУ/(д стремится к бесконечности с рос-
том п — возникает явление		резонанса	(ср. гл. 1,			§ 7),
Аналогичное явление происходит и в			том	случае,		когда
т == 2яи/со, где л.>. 1 — целое.
3°. Пусть 6 > 0 , Т. е. свободные колебания					затухаю-
щие, а т в	2я/(о — период толчков совпадает с периодом
свободных	ангармонических	колебаний.		На	интервале
tn-i <t<tn	имеем t=*m + t\	0< t ' < т ,	так что

Если п -> с», то ^о(^) "* 0, ехр {—пбт} ->• 0, так что устанавливаются периодические колебания:

с амплитудой

COU v u — \

Таков результат «борьбы» между трением и периодическими толчками. Если же 6 «* 0, a eiv>x Ф1, то, как и в случае Iе , возникают биения.

ГЛАВА 4

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ

ИТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

§1. Автономные системы. Общие свойства

.1. Автономные системы. Всюду в этой главе независимое переменное обозначается t и интерпретируется как время, неизвестные функции обозначаются хМ), ..., хпШ.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (или одно уравнение) называется автономной (или динамической, или консервативной), если независимое переменное явно не входит в систему.

Общий вид автономной системы из п уравнений первого порядка в нормальной форме следующий:

£-/<*>	№
или подробнее,
их.
• ^ « / i f e ..., п), i=l,2, ..., п.

Всякую систему можно свести к автономной, если увеличить число неизвестных функций на единицу. Пусть, например, дана неавтономная система

£-/<*,*).

Обозначим t — Xni-u тогда

и мы получили автономную систему с U + D - й	неизвест-
ной функцией.
П р е д п о л о ж е н и е . Всюду в этой главе	предпола-
гается, что вектор-функция f (х) удовлетворяет	условиям
основной теоремы в некоторой области G a R™,	где коор-

динатами точки являются (#!, ..., хп), т. е. / (ж) непрерывно дифференцируема в области G.

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4524 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дифференциальные уравнения

#
21.05.201518.32 Mб613_250.pdf
#
21.05.201521.78 Mб844Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985.pdf
#
21.05.20156.09 Mб521Эльсгольц Л.Э. - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.pdf