2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

§ iO] УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО V' 151

особые решения. Найдем дискримпнаитную кривую, исключив р из уравнений

в этой точке имеется ненулевой касательный вектор (ф'(р), ф'(р)) к кривой). В данном случае критические значения р определяются из системы

откуда находим р = Ро(С) = >^ЗС. Все эти точки расположены на параболе А

конечны. При С = 0 интегральная кривая — парабола В:

Можно не сомневаться в том, что именно эти две выделенные кривые во многом определяют структуру семейства инфегральных кривых.

Покажем, что все интегральные кривые лежат в области y^xzr т.е. под параболой А. Действительно, pz —2хр + у = 0, так что

/?^ У и из уравнения x = —f'(p) можно однозначно выра-

заданная уравнением (17), касается интегральной кривой у = у(х) в точке

Следовательно, определенная уравнением (18) интегральная кривая есть огибающая семейства решений и потому является особым решением.

П р и м е р 12. Решим уравнение

Возведем каждое из этих уравнений в степень 2/3 и сложим, тогда получим уравнение

Эта кривая называется астроидой.

Уравнение Клеро возникает в таких геометрических задачах, в которых ищется плоская кривая по каким-ли- бо свойствам ее касательных, не зависящих от положения

т.е. к уравнению Клеро.

Пр и м е р 13. Найти такую кривую, что произведение расстояний от двух заданных точек Р, Q до любой касательной к кривой -есть величина постоянная.

§ 10] УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО V* 157

#> У, Pi получаем

Fxx + Fvy + -± {FppP* + 2FpxPx + 2Fpvpy + Fxxx* +

+ 2Fxyxy + Fyyy*) + . . . ,

где многоточием обозначены члены третьего и более высокого порядка малости, а значения всех частных производных берутся в начале координат. Упростим уравнение, отбрасывая члены третьего и высших порядков малости, а также слагаемые, содержащие ру, ху, j/ 2 , малые по сравнению с у; тогда получим уравнение

Fxx + Fyy + ± (Fppp* + 2FpxPx + Fxxx2) = 0 .

Заменой переменных

Fyy + Fxx — -|- FxXx2 = Fyy, x - lc, p - pf

можно убрать слагаемые, содержащие х и хг. Тогда получим уравнение

Fvy + FpxJ>x + \ FPVJ>2 = 0.

Предположим, что

FpxiXo, Уо, Ро) * 0, FPP(XO, Jf0, Ро) Ф 0.

Ясно, что это случай «общего положения». Тогда, делая замену Fpxx = —F^c', получаем (тильды над переменными опущены) уравнение Клеро

Это уравнение получено при следующих предположениях: в точке (#о, Уо, Ро)

/г^о, Fp-О, РуФ0, Fpp¥*0, РрхФ0. (19)

Выше были приведены нестрогие соображения, но можно строго доказать, что если условия (19) выполнены, то с помощью гладкой обратимой замены переменных можно привести уравнение F = 0 к виду

в малой окрестности точки (х0, yOi /?0).

5°. Преобразование Лежандра. Пусть на интервале /; а < х < b задана гладкая фуйкция у •-у(х). Введем

158 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2

новую переменную X и новую функцию Y по формулам

Х-у\ Y-xX-y. (20)

Это и есть преобразование Лежандра — отображение пар

(х, у(х)) - (X, ПХ)).

Если функция у(х) дважды непрерывно дифференцируема и у"{х)Ф0 при х&1, то, как было показано в п. 3, соответствие между х и X взаимно однозначно и Y(X) — гладкая функция X.

Найдем обратное преобразование. Положим X =-^-;

тогда

dY = х dp + рdx — dy =#dp,

так что Х*=х. Далее, # « яр — У, и обратное преобразование дается формулами:

Р=Ъ У-xp-Y. (21)

Поэтому с помощью преобразования Лежандра можно перевести любое из уравнений

Fix, у, р) - 0, FiP, рР - F, р) - 0

в другое. Если одно изэтих уравнений интегрируется, то интегрируется и другое.

П р и м е р 14. Решим уравнение

{у-ху')я=*у.

Сделаем преобразование Лежандра

У'=*Р, y-xp--Y;

тогда получим уравнение

v \

» РХ I , "уГ —

так как # « У^. Это уравнение однородно, и его решения имеют вид

In Y - L - С.

Дифференцируя по /?, получаем

р У-рР о /p_V'\ у Y-рР _ У

§ 10} УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО |Г 150

Следовательно, решения исходного уравнения имеют вид

мых. Итак, имеются два способа задания кривой на плоскости.

1.Кривая задается как множество точек на плоскости.

2.Кривая задается как огибающая семейства прямых. Преобразование Лежандра — это переход от одпого

способа задания кривой к другому. Действительно, уравнение касательной к Г в точке (х, fix)) имеет вид

видим, что эта пара есть (/?, У), т. е. преобразование Лежандра пары ix, fix)).

6°. Задача о траекториях. Пусть имеется семейство кривых на плоскости, зависящих от параметра С. Требуется построить кривые (они называются траекториями), которые пересекают каждую кривую данного семейства под заданным углом а. При а = я/2 траектории называются ортогональными,при а =И= я/2 — изогональными. Если, например, кривые семейства — силовые линии некоторого силового поля, то ортогональные траектории — эквипотенциальные линии.

Эту задачу удобно решать, если семейство кривых задано уравнением вида (1). Пусть семейство кривых задано уравнением (8)

/(*, у, С> - 0 .

Покажем, как получить для этого семейства уравнение вида (1). Продифференцируем тождество (8) по х (у считается функцией от х и С); тогда получим

160 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. 2

Исключив С из соотношений / = 0, jx + pfy = 0, получим соотношение Fix, у, р) = 0, т. е. уравнение вида (1). Оно называется дифференциальным уравнением семейства.

Пусть ф, ф* — угол наклона касательной в некоторой точке к кривой семейства и к траектории соответственно. Тогда

у' «=tg ф на tg ф*, получим дифференциальное уравнение семейства изогональных траекторий

П р и м е р 15. Найдем ортогональные траектории семейства парабол

2

Исключая С из системы

получаем дифференциальное уравнение семейства 2ху «=» = у и затем уравнение ортогональных траекторий

2х + у'у-0.

Следовательно, ортогональными траекториями являются

эллипсы

2х* + у*= С, С>0.

П р и м е р 16. Найдем ортогональные траектории семейства

Его дифференциальное уравнение есть ху' «=ау, уравнение ортогональных траекторий есть

я + ъуу' = 0, так что ортогональные траектории — кривые