2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

Действительно, многочлен КК)разлагается на множители (см. (5)), а многочлены от символа D перемножаются но тем же правилам, что и многочлены от К.

Разложение (8) позволяет свести интегрирование уравнения п-го порядка (1) к интегрированию уравнений первого порядка. Применим индукцию; при п«1 теорема доказана в § 4. Совершим переход по индукции от п —1 к п. Представим KD) в виде

KD) - lt(DHD - Кп), h(D) = (D- Kt).-..U) - Ля-,)

и положим z = (D—Xn)y. Тогда для z получим уравнение lx(D)z = 0, всякое решение которого имеет вид

по предположению индукции. Здесь Аи ..., Ап^ —посто- янные. Мы получили уравнение первого порядка относительно у с правой частью — квазимногочленом, причем Кп не совпадает с Яц ..., Kn-i. Решение однородного уравнения у' —Кпуя 0 есть у —Спе пХ , где Сп —произвольная постоянная, а неоднородное уравнение имеет частное решение у = Cxelix + .. . + Cn-ie%n-lX. Тем самым доказано, что всякое решение уравнения (1)имеет вид (7). Проверим, что всякая функция вида (7) удовлетворяет уравнению

42ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. i

(1). Имеем

и обозначим (D —Яв)г/==2, тогда для z получим уравнение ll(D)z*=0 порядка п— 1. По предположению индукции имеем

где РД#) — многочлен степени fej — 1, а всякое решение однородного уравнения имеет вид г/х = С&ег&х, где Св — произвольная постоянная (§ 4). Тем самым (9) доказано.

уравнение Эйлера приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. Действительно,

и аналогично можно показать, что xhy{h) есть линейная комбинация производных функции у по переменной t с постоянными коэффициентами.

Более эффективный способ интегрирования уравнения Эйлера состоит в том, что решение ищется в виде у == х%. Имеем

ху = Хх\ х2у" = М - 1)х\ ...,

Подставляя в (10) и сокращая на #\ получаем уравнение относительно Я:

+ ...ап-1К + ап = 09 (12)

которое называется определяющим уравнением. Если % —

корень определяющего уравнения, то функция

есть решение уравнения Эйлера. Приведем общий вид решения уравнения Эйлера.

Г. Корни %и Х2, ..., К определяющего уравнения различны. Тогда всякое решение уравнения Эйлера имеет

44 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1

5. Выделение вещественных решений. Вомногих прикладных задачах коэффициенты уравнения (1) вещественны, и требуется найти все вещественные решения этого уравнения. Процедура выделения вещественных решений не зависит от того, постоянны илипеременны коэффициенты уравнения, и мырассмотрим уравнение

Ну) _ „<») +ul(x)yin'i} +• • • +ап(х)у = 0 (14)

с переменными коэффициентами.

Лемма 1. Если коэффициенты уравнения (14) веще ственны и у(х) —егорешение, то его вещественная и мн мая части

и(х) = Re уЫ, viz) = Im y(x)

также являются решениями.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем у(х) = и(х) + Ых). Подставляя в уравнение (14), получаем

Лемма 2. Если коэффициенты характеристическо уравнения (6) вещественны и % —корень уравнения, т К— также корень уравнения.

Доказательство. Имеем

КМ = Кп + аХ*1 + ... +ап == Кп + а^Хп"1 +... + ап

так какаи ..., ап вещественны, и если КХ) = 0, то КМ 0

Пусть коэффициенты уравнения (1) вещественны; ограничимся случаем простых корней. Если Хо — вещественный корень, то функция у0 = е^х есть вещественное решение. Пусть К= а + if), р ^ 0,— комплексный корень, тогда уравнение (1) имеет решение у=>еахе*х. В силу леммы 1 функции

yt = еах cos р#, уг = еах sin (}#

будут (вещественными) решениями. Комплексно сопряженному решению у = е** отвечает та же пара вещественных решений. Можно показать, что всякое вещественное решение уравнения (1) есть линейная комбинация с вещественными коэффициентами решений вида у0, yi9 yz,

т.е.

у= СХ Л* + . . .

+ Bxeaix sin §xx + , . . + A&ea*x cos %x + B8ea*x sin

где Cj9 A}, Bj — вещественные постоянные. П р и м е р 1. Решим уравнение

Составим характеристическое уравнение

Его корни равны Xt ==1, Л2,з«•±t9 и потому всякое решение имеет вид

где Cj — произвольные комплексные постоянные. Найдем все вещественные решения. Так как решение ех вещественно, eix = cos x + i sin xy то всякое вещественное решение имеет вид

у == Ахех + Аг cos х + А3 sin x,

где А; — произвольные вещественные постоянные. П р и м е р 2. Решим уравнение

где Аг > 0 — постоянная. Корни характеристического урав-

нения Я4 —kk == 0 равны: Х1л 2 = ±А, Я3) 4 == =biA, и потому всякое решение уравнения имеет вид

46 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. i

где Cj — произвольные комплексные постоянные. Найдем

все вещественные решения. Решения ehx, e~** вещественны, eihx = cos kx + i sin kx, и потому всякое вещественное

решение имеет вид

у = Aid" + Аге*** + А3 cos kx + Ak sin kx,

где Aj — произвольные вещественные постоянные. П р и м е р 3. Решим уравнение

называется возвратным, если равны коэффициенты,равноотстоящие от концов:

Если степень п уравнения нечетна, то оно имеет корень ^ = - 1 , и после деления на Х + 1 получается возвратное уравнение четной степени п — 1. Если же степень п уравнения четна, то его можно свести к уравнению степени вдвое меньшей с помощью подстановки

Покажем это на примере уравнения (15). Поделив обе части этого уравнения на X2, получим квадратное уравнение относительно р

X+-^ + a(x + ±

Пусть а =з—1, Ь= 2, так что исходное уравнение есть y1Y-y" + 2y"-y' + l~0.

Тогда pi = 0, р 2 и 1 , откуда находим

и всякоз решение дифференциального уравнения имеет вид

Пример 4. Решим уравнение

у'"-у"-у'-у = О.

делить единственное решение, необходимо задать значения функции xU) и ее производной x(t) в некоторый момент времени t«t0. Пусть ^0 = 0 для простоты, тогда начальные данные таковы:

*i. 14)

Будем считать, что x(t) есть координата в момент времени t частицы, движущейся по оси х, и пусть ееначальная скорость Xiположительна. Тогда частица будет двигаться вправо, пока недойдет доточки х = А, где -4 =

= V xl +#iA°2 (эт& формула следует из сравнения (3) и (4)). Затем частица поворачивает налево и движется до точки х =—А, и т. д. Таким образом, частица совершает периодические колебания. Число А называется амплиту-

48 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. i

Возможны несколько вариантов, в зависимости от соотношения между числами а, Ъ.

= е. Величина d = 6Г (т. е. й = 2яб/о)) называется логарифмическим декрементом затухания. Эта величина показывает, насколько убывает амплитуда функции хШ за один период. Пусть N — число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз. Тогда

Следовательно, d — это величина, обратная числу колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз. Логарифмический декремент (часто говорят просто «декремент») есть «естественная» мера быстроты затухания колебаний, поскольку естественным масштабом времени для каждого колебания есть его длительность Т.

Для характеристики колебательных контуров употреб-

ляется еще величина Q — добротность контура:

Добротность контура тем больше, чем дольше длятся колебания контура — в естественном масштабе времени для контура, где единица измерения времени есть Т.

Запишем уравнение (5) в виде второго закона Ньютона:

тх = т(—2ах —Ьх) в F.

Слагаемое в правой части — 2тах можно интерпретировать как силу, пропорциональную скорости х частицы и направленную в сторону, противоположную направлению движения частицы. Так действует, например, сила трения (в простейшей модели). Ясно, что эта сила тормозит движение частицы, что и приводит к затуханию колебаний; но лучшим объяснением их затухания является формула (7). Затухающие гармонические колебания возникают в линейных системах с потерями (например, в электрическом колебательном контуре, в цепь которого включено сопротивление).

2°. Апериодический процесс. Пусть по-прежнему а > О, но а2 > Ь, тогда корни Kit 2 оба вещественны и отрицательны, если Ь> 0. Решение имеет вид

х {t) — Сге№ + С2 Л' {Хх < 0, ?i2 < 0)

и не колеблется. Это отвечает наличию большого тренпя или больших потерь в системе.

50 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1

3°. Остается исследовать случай а < 0. Решения имеют вид

В первом случае амплитуда колебаний Ae]a]t неограниченно возрастает со временем. Такой процесс может описываться линейным уравнением только на конечном промежутке времени, так как колебания с большими амплитудами нелинейны. Во втором случае при fc>0 амплитуда колебаний также неограниченно возрастает. При Ъ< 0 имеется единственное (с точностью до множителя) убывающее решение:

и только оно имеет физический смысл при изучении малых колебаний.

§7. Линейные уравнения

справой частью — квазимногочленом

Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида

где Pmix) — многочлен степени т, может быть найдено элементарно.

Л е м м а 1. Если KD) — дифференциальный оператор с постояннымикоэффициентами, то справедлива формула сдвига:

(2) Д о к а з а т е л ь с т в о . По формуле Лейбница имеем

Следовательно,

) = e»xla0(D + \i)ny + at(D + \л)п~*у + ... + any] - « e^KD + \i)y.

Теорема. 1°. Нерезонансный случай. Пусть

(д. не является корнем характеристического уравнения.