Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

.pdf

Скачиваний:

844

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

21.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 1]

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Приведем примеры операторов.

1. Оператор умножения на функцию:

Здесь a(t) — заданная непрерывная на отрезке [а, Ы функция.

2.Оператор дифференцирования:

3.Оператор интегрирования:

А (х (0) = Jх (t) it.

В примерах 1, 3 функция x(t) непрерывна, а в при-* мере 2 — дифференцируема на отрезке / = [ а , Ь].

4. Оператор A(x(t)), действующий по формуле (5). Здесь х (t) — непрерывная на некотором интервале / вектор-функция такая, что все точки (/, х (t)) при t ^ / лежат в области определения вектор-функции / (£, х).

Как и в случае обычных функций, вводятся понятия:

областьопределения и область значений оператора.

Понятие оператора является естественным обобщени-


ем понятия функции. Именно,
функция: число -> число,
оператор:	функция ->• функцию,		вектор-функция-*-
-> вектор-функцию.
Оба эти понятия — частный случай			понятия «отобра-
жение», напомним его.
Пусть даны два произвольных множества X, У. Мы
скажем, что	задано отображение множества X в множе-
ство У, если	каждому элементу х е=X		поставлен в соот-
ветствие некоторый элемент		у ^ У. Для функции X и
У — множества чисел, для оператора X и У — множества
функция (или вектор-фупкций).
Доказательство основной		теоремы будет проведено в

§ 5 с помощью принципа сжатых отображений, что потребует введения ряда новых понятий и дополнительных фактов из анализа (§§ 2—4). Здесь мы ограничимся случаем одного уравнения.

2. Доказательство основной теоремы при п = 1. Рас-

смотрим задачу Коши для одного уравнения:

92 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2

Заменим ее эквивалентным интегральным уравнением

t
х{t) = х0 + j /(, х())dlв	А (х (*)).	(6)
'о

Применим метод последовательных приближений. Положим

A(xo(t)), ..., xn(t) =A{xn~i(t)), ...

Последовательные приближения имеют вид

xo{t) = xo, x1(t) = x0+

'о

..., xn{t) = x0 + J /(?,*n-i(?))c£ (7)

П р и м е р . Задача Коши

имеет решение #U) = e'. Эта задача эквивалентна интегральному уравнению

Вычислим последовательные приближения:

xo(t) = 1,

t	г+ -£,
= 1+ J(1

Мы видим, что последовательные приближения — это отрезки ряда Тейлора функции е*9 так что последователь-

§11 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 93

ные приближения хпШ равномерно сходятся к решению на любом конечном отрезке.

Докажем,			что последовательность ixn(t)} равномерно
сходится к некоторой функ-
ции x(t) на отрезке				/ = U 0 - - 6 ,
£0 + 6l,	если		6 > 0 достаточно
мало.	Пусть		П — прямоуголь-
ник U—£		0 1^я,		\х —хо\ ^b,
лежащий		внутри		области G,
иП{ — меньший прямоугольник
(рис. И).				Рис.И.
Обозначим
			max	max

Пусть М — множество всех непрерывных при t&I функ-

ций x(t), графики которых лежат в прямоугольнике Пс,
т. е. \x(t) —хо\ ^ 6 при t ^ /.
1°. Если Ь^Ь/К0	И x(t)^M,	тоА(хШ) ^М. Действи-
тельно, функция A(x(t)) непрерывна при t^I и
	t
\A(x(t))-xo\
2°. Пусть функции x(t), y(t)		min (b/K0, q/Ю,
где 0< q < 1. Тогда
max \| А (х (t)) — A		x(t) -у (t) \. (8)
Имеем		mi
Имеем

\A{x{t))-A(y(t))\ =

(мы прпмепили формулу конечных	приращений Лагран-
жа; точка 0(?) лежит на интервале	(#(?), y(i)))
t

откуда следует (8).

94 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2

Рассмотрим ряд

X(t) = ХоШ+ (Xi(t) - ХоШ) + (Х2Ш - Xdt)) + ...

Его частичные суммы равны xo(t),				х&),		...,	хпШ,		так
что сходимость этого ряда эквивалентна сходимости по-
следовательности ixn(t)}.		Имеем в силу			1°,	2°
			max \| ^x (t) — x0					(t) \ < qbt
			ti
и докажем по индукции, что при п ^				1
	max \| zn (t) — ^п _! (О \| <			bqn.					(10)
	tGI								(10)
	tGI
При	п = 1 это неравенство		доказано, совершим					переход
по индукции от и к n i l			Используя		неравенства				(8),
(10), получаем
хп+1	(t) - хп (0 \| = \| А (хп	(t)) - А (хп-г		(t)) \|		<
	< q max \| xn (t) — xn-i						{t) \ < bqn+i
			t<=i
и (10) доказано. Ряд (9)		равномерно сходится					на отрезке

/ (по признаку Вейерштрасса), так как модули членов ряда не превосходят членов убывающей геометрической

прогрессии со знаменателем q, 0 < g < l — см. (10). Итак, последовательность xn(t) равномерно сходится

к функции x(t) на отрезке /, и предельная функция непрерывна при t ^ /. Поэтому в соотношении

можно перейти к пределу под знаком интеграла, так что предельная функция x(t) удовлетворяет интегральному уравнению (6). Тем самым доказано существование решения задачи Коши.

Докажем единственность. Допустим, что интегральное уравнение (6) имеет два решения хШ, ytt), определенные при t^I, тогда

§ 1]	ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА	95
Применяя оценку (8), получаем
	И0
Так	как 0 < д < 1 , то mbx\z(t) — y(t)\ — 0,и	поэтому

3.Теорема Коши. Пусть z = x+iy — комплексное переменное; здесь х, у — вещественные числа, i — мнимая единица. Рассмотрим вадачу Коши

£-/(*,«>), ю(«ь)-ю,

(И)

для одного уравнения, где w(z) — комплекснозначная функция. Функция iviz) называется аналитической в точке z0, если она разлагается в степенной ряд

(12)

п=о

сходящийся в некоторой окрестности этой точки. Аналитическая в точке z0 функция аналитична в некотором круге вида Iz —zo\ <г . Функция двух комплексных переменных /(z, w) называется аналитической в точке (z0, w0), если она разлагается в двойной степенной ряд

/ М - 2 2 /я»(г-Ч)п(»-^о)т*

сходящийся в некоторой окрестности точки (z0, i^o).

Теорема Коши. Пустьфункция /(z, м;) аналитич

на в точке (z0, м>0). ГогЗа задача Коши (И) гшеет р^шеК1ге w;(z), аналитическое в точке z0, u такое решение единственно.

Это решение строится так. Будем искать w(z) в виде ряда (12) с неопределенными коэффициентами wn. Коэффициент iv0 находится из данных Коши: w{z0)e w0. Подставим ряд (12) в ряд (13), тогда получим ряд по степеням z — zOi п уравпепие (11) примет вид

Щ + 2w2 (z — z0) + Зм?8 (z — z0)2 + . . . —

+ (/0l^2 + /20 + fllWl

Степенные ряды равны тогда и только тогда, когда

96 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2

равны коэффициенты при всех степенях z —z0, так что

и>1--/оо! 2 м ; 2 - /ю +	foiwu
3w3 = folw2 + /20 + /11^1	X

Из этих соотношений можно последовательно найти коэффициенты wи и?2,•..; так как коэффициенты определяются однозначно, то тем самым доказана единственность аналитического решения. Доказательство сходимости построенного таким способом ряда для wiz) см. в [40].

Аналогичная теорема справедлива и для системы из п уравнений:


			%-f(z,w),		w(zo) = w°.			(14)
Требуется,		чтобы		все	компоненты		/,(z, wi9	..., м>„),
1 ^ / ^ Щ		вектор-функции / (z, w)					были аналитичны
в точке	(z0, w\r		...,Wn)-		Тогда	задача Коши (14) имеет
решение	w(z),		все	компоненты		которого аналитичны в

точке z0 и такое решение единственно.

§ 2. Линейные нормированные пространства

Коротко напомним понятие линейного пространства В% которые мы считаем известным из курса линейной алгеб-

ры. Множество		В называется линейным пространством,
если для любых		его	элементов		х,	у определена		сумма
(х + у) е В и для любого х е				В	и	вещественного (или
комплексного) числа			а определено произведение ах е						Bt
со следующими свойствами:
1.	х + у = у + х.
2.	ix + y) + z~x		+ (y + z).
3. Существует нулевой элемент Ов&							В такой,		что
х + Ов = х для всехЖ Е В .
4. 1 • х = х, 0 • х = Ов.
5.	а($х)
6.	{+
и т. д.
О п р е д е л е н и е			1. Линейное пространство В назы-
вается нормированным, если				каждому			элементу х е		В
поставлено в соответствие вещественное число								1Ы1 (нор*
ма х)% обладающее следующимисвойствами:

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1°. Ы>0, хФОв\ 110*0=0.

2°. На#И = 1а|Ы {здесь а — число).

3°. \\х + у\\< IWI + \\y\\ {неравенствотреугольника).

Приведем примеры линейных нормированных пространств.

1.Числовая прямая R. Здесь Ы = Ы.

2.тг-мерное евклидово пространство Еп. Элементами

являются векторы х = (xv х2, . . . , zn)i норма определяется так:

3. и-мерное пространство Rnr с нормой ||#|| = max \XJ\.

Всюду в дальнейшем употребляется последнее определение нормы вектора.

4. Пространство С(а, Ъ). Элементами являются функции x(t), непрерывные на отрезке [а, Ы, и

m a x I*(*)!•

5. Пространство С (а, Ь). Элементами этого пространства являются вектор-функции x{t) = {x1{t)1 . . . , xn{t)), непрерывные на отрезке [а, Ы, с нормой

|| х (0 ||с = max | a? (0 И,

t<=[a,b]

или, более подробно,

(max |

В примере 4 функции д;(^) могут быть как вещественнозначными, так и комплекснозначными. Свойства пространства C(a, b), которые будут установлены ниже, одни и те же в обоих случаях. Это же замечание относится и

кпримеру 5.

Впримере 2 \\x\\—длина вектораx,jx — у \\ — расстояние между точками хну. Точно так же можно интер-

претировать || х ||, || х — 1/|| в любом линейном нормированном пространстве В, как «длину» вектора х и как «расстояние между точками х и г/», соответственно. Поэтому

98 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2

можно ввести в линейном нормированном пространстве те понятия, которые вводятся в Еп с помощью понятия

расстояния.

Пусть В— линейное нормированное пространство. Множество М аВ называется ограниченным, если существует R > О такое, что 1Ы1< R для всех х е М,

По определению, lim хп = х в пространстве В, если

— #||=0. Так как для нормы справедливы те же

П-*оо

оценки, что и для модуля, то следующие свойства пределов доказываются точно так же, как и для числовых последовательностей в анализе:

		lim {xn		+ Vv) = Hm xn + lim уп,
		П-»оо			П-*оо		П-*оо
		lim ахп		= a Hm хп		(а — число),
		П-»ОО			Т1-+ОО
если существуют			пределы Hm хПч			Hm yn.
					П-*оо	П-*оо
В примере 3 (В = Нп) сходимость							хк к х эквивалент-
на	сходимости каждой				из компонент: lim x) = Xj при
							h-*oo
всех	/ = 1,	2, ...., п.		В	пространстве		С(я, fc) сходимость
xn(t)	к ж(^) — это равномерная сходимостьпоследователь-
ности ixn(t)}		на отрезке [а, Ы. Действительно, по опреде-
лению сходимости в С(а, Ъ) имеем
		lim	max		\| xn {t) — x (t) \ = 0,

а это есть одно из определений равномерной сходимости


последовательности					{xnit)}.	В	пространстве С (а, Ь) схо-
димость		xh	(t)	к х (t) — это			равномерная сходимость	на
отрезке		[а,	6]	для	каждой	из компонент: х) (t) ^* Xj		(t)
при	l^j^n.
Последовательность (^п)						называется фундаментальной,
если	lim		\|\|xk	— лгг Ц = 0.
О п р е д е л е н и е					2. Линейное нормированное про-
странство			называется полным, если всякая фундамен-
тальная последовательность							является сходящейся.
Полное линейное					нормированное пространствоназы-

вается банаховым пространством в честь польского математика С. Банаха,

§ 3]	ПРИНЦИП СЖАТЫХ		ОТОБРАЖЕНИЙ		99
Все пространства в примерах 1 —5(Я, Еп,					Rn, С(а,Ь)г
С (а, Ь)) являются		банаховыми	пространствами.
Докажем полноту пространства С{а, Ь). Если функци-
ональная	последовательность		xn(t)	является	фундамен-
тальной, то
	lim	max \| хк (t) — хг		{t) \ = 0.

В силу критерия Коши последовательность {xnti)} равномерно сходится на отрезке [а, Ъ] к некоторой непрерывной функции x(t), т. е. xn(t) -*• x(t) в пространстве С(а, Ь). Аналогично доказывается полнота пространства С (а, Ъ).

оо

Наконец, несколько слов о рядах. Ряд 2 хп (хп ^ В)

П=:1

называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {$„}. Как и в анализе, доказывается следующий признак сходимости:

	оо
Если	ряд 2 хп	сходится понорме, т.е.сходится ряд
оо
2 Iхп \|\|,	то этот ряд сходится.
71=1
Введем понятие оператора.
О п р е д е л е н и е		3. Пусть каждому элементу х<^М,

где М — подмножество банахова пространства В, поста

лен	в соответствие элемент А (х) е В. Тогда мы скажем
что задан оператор А.
Множество М называется			областью определения опе-
ратора А.
§	3. Принцип сжатых отображений
Рассмотрим уравнение
		Ф = Ж Ф ) .		(1)
Здесь ф е В, В —		банахово	пространство,	ж А — опера-
тор,	действующий	из В в В	(т. е. переводящий элемен-

ты из В в элементы из В). Метод последовательных

приближений, применительно к уравнению	(1), заключа-
ется в следующем. Возьмем произвольную	точку %&В
и составим последовательность:
, . . ., фя+1

Элементы ф0, ф1, ..., фп, . . . называются последователь-

100 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2

ными приближениями. Допустим, что последовательность фп сходится к ф, и что оператор А таков, что можно переходить к пределу под знаком оператора. Тогда, переходя к пределу при w-^oo в равенстве

			фп + 1 =*Жфп ),
получаем, что ф = Жф). В этом случае решение уравне-
ния (1) существует и находится с помощью								последова-
тельных приближений.
Приведем достаточные условия сходимости этого ме-
тода. Введем
О п р е д е л е н и е . Пусть М — множество								в банаховом
пространстве В. Оператор4, определенный								на Л/, сжи-
маетМ, если
1) А:М-+М			{т. е. для любого ф е !				имеем
2) Существует к, 0 < &< 1, такое,что
						ф211		(2)
для любых ф4, ф2 ^ М.
П р и м е р		1. В — плоскость {х, у),
Оператор		А	сжимает	множество М = В. Геометриче-
ский смысл	сжимающего			оператора		А	следующий: А
уменьшает	расстояние между				точками —см.			(2).
Теорем а		1	(принцип сжатых отображений). Пусть
М — замкнутое			ограниченное		множество в			банаховом
пространстве В.			Пусть	оператор А		сжимает М. Тогда
уравнение								(1)

имеет решение ф^М, и притом единственное.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Применим к уравнению (1) ме-

тод последовательных	приближений. Возьмем любую точ-
ку Ц>о^М и построим	последовательные приближения:
	. . ., фп+1

Так как А;М-+ М, то все ф^^М.

Докажем, что последовательность {фп} сходится. Сходимость ее эквивалентна сходимости ряда

фо+ (ф!- фо) + (фг- ф4) + ... + (ф«+1- фп)+ ... (3)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дифференциальные уравнения

#
21.05.201518.32 Mб613_250.pdf
#
21.05.201521.78 Mб844Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985.pdf
#
21.05.20156.09 Mб521Эльсгольц Л.Э. - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.pdf