2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985
.pdf5 2] |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ |
УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА Ц |
|
|
Доказательство теоремы существования и единствен- |
||
ности будет приведено в гл. 2, § 1. Прокомментируем |
|||
эту |
теорему. |
|
|
|
1°. Уравнение (1) имеет |
бесконечно |
много решений; |
семейство решений зависит |
от одного |
параметра. Дей- |
|
ствительно, если фиксировать х0 и взять данные Коши вида у(хо)жввуо, то полученные решения у в ф ( # ; уо) будут различны при различных значениях у0*
2°. Теорема гарантирует существование решения только в малой окрестности точки х0, т. е. за малое «время» х. Это по существу, так как решение задачи Коши (1),
(2) может за конечное время уйти в бесконечность. Уравнение (1) имеет следующую геометрическую ин-
терпретацию. Если интегральная кривая проходит через точку (х, у), то угловой коэффициент касательной равен 6 = /(#, у). Проведем через каждую точку (х, у) области D прямую с угловым коэффициентом к— fix, у); тогда получим поле направлений. Интегральные кривые уравнения (1) обладают тем свойством, что в каждой своей точке касаются поля направлений. Верно и обратное: если кривая в каждой своей точке касается поля направлений, то онаявляется интегральной кривой.
Уравнение (1) можно формально записать в виде
dy-f(x, y)dx~0. |
(1') |
Мы будем использовать обе формы записи: |
(1) и(I7 ), |
а также рассматривать уравнения вида |
|
Pix, y)dx + Q(x, y)dy= O.
Выражение Р dx + Qdy называется дифференциальной |
||
формой первого |
порядка. |
|
З а м е ч а н и е |
1. В уравнении |
(1) переменные х, у |
неравноправны: |
х —независимое |
переменное, у—-функ- |
ция от х. Но во многих задачах, приводящих к уравнению (1), переменные х и у равноправны. Поэтому необходимо расширить понятие интегральной кривой. Будем называть гладкую функцию я — ф(у), а<у<Ъ, решением уравнения (1),а ее график — интегральной кривой, если выполняется уравнение (1'):
dy-f(q>(y),
В частности, интегральной прямой может быть вертикальная прямая х= const. В самом общем виде определение
12 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
интегральной кривой выглядит так. Пусть кривая у задана параметрическими уравнениями: я = <р(£), i/ = t|>U), ti<t<t2. Тогда у называется интегральной кривой уравнения (1), если выполняется уравнение (I7 ), т. е.
ф'(*) - /(<pU), *(t))q>'tt) = 0 , U < t < и.
Рассмотрим несколько типов уравнений первого порядка, которые интегрируются в квадратурах. Основное внимание будет уделено приемам интегрирования. Свойства решений и структуру интегральных кривых, как правило, исследовать не будем.
Если не делается никаких оговорок, то все функции, входящие в уравнения, предполагаются гладкими, т. е. непрерывно дифференцируемыми.
2. Уравнения с разделяющимися переменными. Эго уравнения вида
а*-/•(*>*&)• |
(3) |
Будем предполагать, что функции fix), g(y) непрерывны на интервалах / = Ui, хг\, J ** (уи Уг) соответственно.Запишем уравнение (3) в виде -4-х= / (х) их и проинтегрируем; тогда получим
Здесь С — произвольная постоянная, точки #0, Уо фиксированы, g(y0) *£0. Формулу (4) принято также записывать так
Мы будем использовать обе формы записи. Соотношение
(4) |
имеет вид G(y) =F(x) + C (вид функций F, G ясен |
из |
(4)), и определяет у как неявную функцию х. |
|
Но формула (4) не дает всех решений уравнения (3): |
при ее выводе мы делили на функцию g(y), которая может обращаться в нуль. Если у* таково, что g(y*) = 0 , то функция у(х) ss у* — решение уравнения (3).
§ 2} |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА |
13 |
Рассмотрим задачу Коши (2) для уравнения (3). Если t) ^ 0, то ее решение единственно и дается формулой
На примере уравнения (3) видно, как может возникнуть неединственность решения задачи Коши. Если g(y0) = О, то задача Коши (2) имеет решение у(х)~у0. Если, кроме того, сходится интеграл j (g (у))"1 dy при у, близких
к уо, то задача Коши может иметь также решение вида
(5)(см. пример 2).
Пр и м е р 1. Решим уравнение
Имеем
|
-ij = ах, |
|
= х-\- |
|
|
так |
что у•= —1/Слг + С), |
где |
С — произвольная |
постоян- |
|
ная. Кроме того, имеется |
решение у(х)^0. |
Если #о^О, |
|||
то |
интегральная кривая |
есть |
гипербола, |
если |
у0 = 0, то |
интегральная кривая есть ось х. Решение задачи Коши у(х0) = уо при уа Ф 0 равно
Этот пример показывает, что решение уравнения (1) может обратиться в бесконечность при конечном х (или за конечное время, если переменное х есть время). В самом деле, если уо >О, то решение у{х) задачи Коши (2) обращается в бесконечность при х = х0 + 1/*/0.
При построении семейства интегральных кривых следует обратить особое внимание на решения вида у(х) = = y*(g(y*) = 0). Такие решения являются исключениями уже потому, что не описываются общей формулой (4). Соответствующие интегральные кривые либо разделяют различные семейства интегральных кривых, либо являются линиями, на которых нарушается единственность решения задачи Коши.
П р и м е р 2. Все решения уравнения
14 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ.1
даются формулой
у = (х-СУ; у =0,
где С — произвольная постоянная. Интегральные кривые изображены на рис. 2. На оси х нарушается единственность: через каждую точку {х0, 0)
проходят две интегральные кривые: у = (х — х0)3 и у = 0. Следовательно, на оси х должны нарушаться условия теоремы существования и единственности. В этом примере
и производная у - обращается в бесконечность при у = 0.
П р и м е р 3. Решим уравнение
у
Имеем
^ Ц « Аг, arctgy = х + С; y = tg(x + C)t
где С—произвольйая постоянная. Решим задачу Коши при условии г/(0) = 1. Имеем tg.C = 1, С = -j- + яп, п —
целое. В силу периодичности тангенса можно положить п =* 0, так что # = tg (х + я/4). Это решение существует на интервале —Зя;/4 < х < п/4; на концах интервала решение обращается в бесконечность.
П р и м е р 4. Решим уравнение
Оно имеет решения у = 1, у ~ — 1. Далее,
При яостроенйи интегральных кривых удобно считать х функцией у. Все эти кривые получаются сдвигами вдоль оси х кривой a;— In II —у2\. Она состоит из трех ветвей.
В этом примере исключительные решения y — l, y = ~ —1 разделяют три семейства яитегральных кривых.
2] |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 15 |
Пример 5. Решим уравнение
Оно имеет решение у « 0. Далее,
у + cln\y\*=ax +abln\x\ + Ct
где С — произвольная постоянная.
В этом примере, как во многих других, значительно проще решить дифференциальное уравнение, чем построить семейство интегральных кривых. При решении дифференциальных уравнений на упражнениях подавляющее большинство уравнений необходимо только проинтегрировать, не анализируя интегральных кривых.
Сделаем замечание по поводу «произвольной постоянной С». Во-первых, множество значений, которые она принимает, зависит от конкретного уравнения. Так, в примере 3, ввиду периодичности тангенса, можно считать, что 0 < С < п. Во-вторых, одно и то же семейство решений может описываться формулами, в которые постоянная С входит по-разному. Здесь нет общих рецептов, но желательно записать уравнение семейства так, чтобы зависимость от С была бы попроще. Приведем такого рода пример.
З а м е ч а н и е 2, Рассмотрим семейство функций In |»1-/(*> + С ,
где С — произвольная постоянная. Такие семейства возникают при интегрировании многих дифференциальных уравнений. Покажем, что это семейство можно задать формулой
С^™ |
(6) |
где d Ф 0 — произвольная постоянная. Так |
как \у\ |
= есеНх\ то семейство задается уравнениями |
|
Если С меняется от — «> до +°°, то е° пробегает все значения от 0 до <», и потому две формулы (6х) можно объединить в одну формулу (6). Если имеется еще решение у « 0, то в формуле (6) СА — произвольная постоянная.
16ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
Вчастности, в примере 4 все решения даются форму-
лой
где С — произвольная постоянная.
3. Однородные уравнения. Это уравнения вида |
|
*!L-4(JL) |
(7) |
Положим у = xz, где z(x) — новая неизвестная функция; тогда у = xz' + z и потому
dz _/(«)-«
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными. Имеем
— Z XX |
J / (2) — Z |
I 1 ^ |
* |
|
откуда, учитывая замечание 2, находим |
|
|
||
|
|
|
|
(8) |
Здесы С Ф 0 — произвольная постоянная, ^го)Фго. |
Кроме |
|||
того, если к0 — корень |
уравнения |
/(&)«А, |
то функция |
|
у =ftoa?— решение уравнения (7). |
|
|
|
|
Уравнение (7) называется однородным по той |
причи- |
|||
не, что оно не меняется при замене х на tx, у на ty (ЬФ 0 — постоянная). В частности, если у = <р(#) —реше- ние уравнения (7), то y = t~\(tx) также является решением. Поэтому интегральные кривые образуют семейство подобных кривых, центр подобия — начало координат. Решения вида у~кх играют такую же роль, как и решения вида г/= const для уравнений с разделяющимися переменными.
Приме р 6. Решим уравнение
х —
§ 2] |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 17 |
Полагая y~xz, получаем
arctgz — у 1п(1 + z2) = ln|a:| + С.
Так как
то окончательно получаем
arctg||- - -|- In {х2 + у2) + С.
Ясно, что здесь удобно перейти к полярным координатам г, ф. Тогда решения примут вид cp==lnr + C или
где С—произвольная положительная постоянная. Интегральные кривые являются логарифмическими спиралями.
При решении однородных уравнении бывает удобно перейти к полярным координатам: # = г cos ф, у —г sin у. В примере 6 имеем
(х-y)dy «»(х + y)dxr
(cos cp—sin ф)(8т ф dr + г cos ф йф)=»
в (cos ф + sin ф)(cos фdr—г sin ф &р),
откуда находим, что cfr == г dtp. Последнее уравнение легко интегрируется.
Рассмотрим уравнение вида
O. (9)
Функция fix, у) называется однородной степени т, если
fitx, ty) = tmfix, у) |
(10) |
при всех t ¥*0. Здесь т — целое число, или, по крайней мере, т = р/(2д+1), где р, q целые, q>0 (в противном случае число tm будет комплексным при t < 0). Для однородной функции степени т справедливо тождество Эйлера
Для доказательства достаточно продифференцировать обе части тождества (10) по t и затем положить t**.l.
& М "R <Ъ*»ттпг«пм
18 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ t
Если Р(#, у), Q(x, у) — однородные функции одной и ТОЁ же степени т, то уравнение (9) однородное.
П р и м е р 7. Решим уравнение
(у4 - 2x*y)dz + (хк - 2xy3)dy - 0.
Оно имеет вид (7), где
так что |
подстановка |
y — xz |
приводит уравнение к |
виду |
||
йг |
2z9 — i , |
их |
/ 1 |
За2 \ , |
dx |
|
|
dz |
-> |
[ |
|
) |
|
Учитывая замечание 2, получаем уравнение семейства |
||
о |
решений x(l + z3) — Cz, где С— про- |
|
|
||
|
извольная |
постоянная, так как 2 = 0 |
|
есть решение. Следовательно, все ре* |
|
|
шения даются формулами |
|
|
так как уравнение /(z) = z имеет кор- |
|
|
ни 2 — 0, z « — l . |
|
|
Кривая |
х*+ у3« Ъаху, а^О, на- |
Рис. 3. |
зывается декартов лист и изображе- |
|
|
на на рис, 3. |
|
Интегральная |
кривая у~—х |
отделяет петли декарто- |
вых листов от их бесконечных ветвей. Декартов лист
имеет параметрическое представление |
|
||
* |
V |
< о о |
1 |
Функция f(x, у) называется положительно однородной |
|||
степени т , |
если |
тождество (10) выполняется |
при всех |
* > 0 . Число m может не быть целым. Пример: |
функция |
(х2 + y2)m/z •— положительно однородная степени |
m при |
любом т. Тождество Эйлера (11) справедливо для поло-
жительно однородных функций. Уравнение |
(9), в кото- |
|
ром /\ Q — положительно однородные |
функции одной и |
|
той же степени т, интегрируется тем |
же |
методом, что |
и выше. |
|
|
§ 2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 19
Пример 8. Решим уравнение
xdy —ydx — fxz + у2 dx.
Здесь я, у—однородные функции степени 1, Ух2 + у2 — положительно однородная функция степени 1, так что Р(х, у) — положительно однородная функция. Полагая у = xz, получаем
Пусть х > 0; тогда In(VF+1+ z) = Inx +Сили
где О 0 — произвольная постоянная. Перенося z в правую часть и возводя обе части полученного равенства в квадрат, получаем уравнение семейства решений
, O0.
Пусть х < 0; тогда
In (*+ V7+1) - -In Ui +С, (z+ VF+1K-*) - C l r
где d > 0 — произвольная постоянная, которую запишем в виде 1/С. Тогда
Сгхг-2Су=Л.
Все решения даются формулой
где С > 0 — произвольная постоянная. Интегральные кривые — семейство парабол с осью симметрии у. Рекомендуется проверить, что если С < 0 , то у не является решением.
К однородным уравнениям приводятся уравнения вида
где {а}, bj) Ф (О, 0). Пусть
uibz — dzbi Ф 0'9
тогда можно сделать такую замену переменных
2*
20 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ.1
что в линейных функциях исчезнут свободные члены:
|
|
/ = 1, 2. |
Полученное |
уравнение будет однородным. Пусть ахЬг — |
|
-— a26i = 0, |
bi=^0. Введя |
новую неизвестную функцию |
z = atx + bty + cl f получим |
уравнение с разделяющимися |
|
переменными. |
|
|
П р и м е р 9. Решим уравнение
(Зу -7z + 7)dx + (7у - Ъх + 3)dy - 0.
Полагая Ж — х— 1, у = у, получаем однородное уравнение
(Зу - 7x)dx + (7у- 3x)dy - 0.
После подстановки у = £z получаем
^(7z2 — 7)d* = 0,
Так как J S = 1 , 2 = — 1 — решения, то С — произвольная постоянная. Окончательно получаем уравнение семейства решений
(
Некоторые уравнения удается привести к однородным с помощью подстановки
при подходящем выборе числа т. П р и м е р 10. Решим уравнение
Полагая у ==zm, получаем уравнение
2mx2zm-iz/ = zB
Это уравнение будет однородным, если степени всех одночленов от переменцых х, z будут равшл:
2 + (т - 1) = Ът= 1 + т.
Отсюда находил! т — 1/2, и подстановка y = lfz приводит уравнение к однородному
*Vf/V' = z3/2