2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

и пусть ad — ЪсФ0. Если в некоторой точке отличен от нуля знаменатель (числитель) дроби из правой части уравнения (6), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая вида у = у(х) (соответственно, # = = х(у)). Точка (0, 0) является особой (подробнее см. гл. 2, § 10). Таким образом, выше мы исследовали структуру интегральных кривых уравнения (6) в окрестности особой точки.

3. Уравнение второго порядка. Рассмотрим линейное уравнение

с постоянными вещественными коэффициентами а, Ъ. Сведем его к системе

Фазовые траектории системы (8) называются фазовыми траекториями уравнения (7), которые изображаются на плоскости (х, х). Характеристические уравнения системы

(8) и уравнения (7) совпадают: А,2 + аЯ+Ь = 0, и потому все фазовые портреты для уравнения (7) такие же,как и для системы из двух уравнений.

§10. Линейные системы

спостоянными коэффициентами. Случай кратных корней

1.Жордапова нормальная форма матрицы. В § 8 бы-

факт сыграл основную роль при интегрировании системы. Если же матрица А имеет кратное собственное значение, то ее не всегда можно привести к диагональному виду.

П р и м е р . Матрицу

76 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I

записи эта система имеет вид

dzt

dx 1 2i

Решим эту систему «снизу вверх». Имеем zfc = Ckc**. Далее, Sft-i —Xzft-i = Cfte^, так что, в силу теоремы 1, § 4,

Аналогично получаем

Следовательно, всякое решение системы (6) дается формулой

(7)

Все решения системы (5) строятся следующим об-

2°. Решение системы (5) есть линейная комбинация всех построенных решений с произвольными постоянными коэффициентами.

Наметим доказательство этого факта. После подстановки у = Tz, где матрица Т приводит матрицу А к жордановой нормальной форме, система (5) принимает вид

dx '

Эта система распадается на s отдельных подсистем

~3х ~ i2 » • • •»"5J"== *2 «

где z* есть вектор-столбец высоты kh а каждая из этих подсистем интегрируется так же, как и система (6).

Пример . Рассмотрим систему

hi = К2 = 3. Собственный вектор определяется из системы

Ау = Зу, т. е.

2#i + Уг= 3#i, —уг + 4^2 = Зг/2,

откуда следует, что г/i = г/2 и собственный вектор только один (с точностью до множителя): ех = (1,1). Поэтому имеется присоединенный вектор 02? который определяется из системы Ае2 = Зе2 + ех. Для компонент уи у2 вектора е2 получаем систему

Уг - yi = 1, г/2 - #1 = 1,

ивектор е2 можно взять в виде (0, 1). По формуле (7) строим решения

ивсякое решение системы имеет вид

или, в покомпонентной записи,

у% = е3х(С, + Са), у = еЧС,

Здесь Си Сг— произвольные постоянные.

Сделаем еще несколько замечаний о системах вида (5), в случае кратных сооственных значении матрицы А.

78 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1

Пусть Хи ..., hs — все различные собственные значения кратностей ти ..., ms. Всякое решение системы (5) имеет вид

Здесь Pj(x) есть вектор-функция, компоненты которой— многочлены от х степени не выше чем rrij—1. Это следует из того, что длина жордановой цепочки, отвечающей собственному значению Х„ не может быть больше чем rrij (а может быть только короче, так одному и тому же собственному значению может отвечать несколько жордановых цепочек). Как видно из формулы (7), соответствующие решения имеют вид Pj (x) e •?х, где компоненты вектор-функции Pj (х) — многочлены степени не выше, чем длина жордановой цепочки минус единица.

Случай кратных корней значительно сложнее случая простых корней, но, по счастью, кратные корни — исключения, а не правило. Поясним это на примере (2 X 2)- матрицы А с вещественными элементами. Ее характеристическое уравнение имеет вид

где а, Ъ— вещественные постоянные. На плоскости параметров (а, Ъ) каждому такому уравнению отвечает точка, а уравнениям, корни которых совпадают, отвечает парабола а2 = 4Ь. Ясно, что точку (а0, Ьо) можно сдвинуть с параболы за счет сколь угодно малого изменения чисел (а0, Ьо) (или что то же, за счет сколь угодно малого изменения элементов матрицы А). Полученная матрица уже будет иметь простые собственные значения.

С точки зрения вычислительной, приведение матрицы к жордановой нормальной форме есть неустойчивая oneрация. Действительно, на ЭВМ можно найти собственные значения только с вполне определенной точностью. Поэтому можно утверждать с уверенностью лишь то, что два собственных значения различны, если у них не совпадают некоторые десятичные знаки. Проверить же, что они равны, нельзя, и потому очень близкие собственные значения воспринимаются ЭВМ как равные. В силу этого, в случаях, когда имеются очень близкие (возможно, равные) собственные значения, матрицу приводят не к жордановой нормальной форме, а к какой-либо иной (например, к треугольной).

мичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и пользуется большой популярностью у инженеров. Этот метод был предложен известным американским электротехником и физиком Хевисайдом. «Сначала этот символический метод был предложен без строгого обоснования: Хевисайд выражал даже некоторое пренебрежение к опасениям профессиональных математиков. Но поразительный успех метода Хевисайда заставил объяснить его с математической точки зрения, что привело к полному оправданию и дальнейшему развитию символических методов» [31].

Приведем современный вариант этого метода. Оригиналами будем называть функции fix) такие, что:

1. f(x) непрерывна при # > 0 , за исключением, быть может, конечного числа точек, fix) =з0 при х < 0.

2.\fix)\<Meax при х>0.

Постоянные М, а —свои для каждой функции.

Преобразованием Лапласа функций fix) называется функция

Функцию Fip) будем называть изображением функции fix) и будем записывать это так:

Покажем, что интеграл (1) сходится прикомплексных р в полуплоскости Re p > а, где а указано в условии 2. Имеем

sf(x)dx

о

так как а — Re p < 0. Можно показать, что в полуплоскости Re p > а функция Fip) бесконечно дифференцируема.

Выведем основные формулу операционного исчисления. При их выводе предполагается, что все рассматриваемые функции принадлежат классу оригиналов. Кроме

80 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. i

того, параметр р выбирается настолько большим, чтобы

Если

и а, Р — постоянные, то

Доказательство следует из линейности интеграла. 2°. И з о б р а ж е н и е п р о и з в о д н ы х

/(п) (*) = pnF (Р) - РП'Ч ( 0 ) - . . . - pfn'2) 0- fn~x) (0). (2)

Пусть п = 1, тогда

Действительно, так как fix —а)= 0 приж< а, то, делая замену переменной х— а= Ж, получаем

f(x —a) = J /(;r-a)

о

оо

о

По существу уже этих трех формул вполне достаточно для того, чтобы решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Формула (2) — основная: она показывает, что дифференцированию оригиналов отвечает умножение изо-