Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

.pdf

Скачиваний:

844

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

21.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 5]	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ	Щ
ности для задачи Коши
	d£ =tif,x), *(у-л	(7)

2. Дифференциальные уравнения п-то порядка. Рассмотрим уравнение п-то порядка в нормальной форме

(т. е. разрешенное относительно старшей производной):

их йп~

Поставим начальные условия

ХЛ

t -хп-г.

(9)

Задача Коши ставится так: найти решение уравнения (8),

удовлетворяющее условиям (9). Заметим, что число начальных условий равно порядку уравнения.

Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я и е д и н с т в е н н о -

сти	для		у р а в н е н и й	n - го	порядка . Пусть функ-
ция	f(t7	у0,	z/i, ..., yn-i)	непрерывна		вместе со			всеми ча-
стными		производными		^р-,	0^.}'	^.п	— 1, в		области
GaR?^1,			и пусть точка (£0, #о, #i,			...,	^ n - i ) e G .			Тогда
решение		задачи Коши (8), (9)			существует и			единственно
на некотором интервале Uo —6, £0 + 8).
Доказательство проведем					для простоты			при		п = 2.
Имеем

^ = f ( t х d A ' x l t ) - x - ^ =х

dt2 \ dt ) ' o) *" °' dt

Обозначим x = y0, ^т^Уи тогда получим систему

которая эквивалентна исходному уравнению. Данные Коши примут вид:

Применяя основную теорему, получаем существование и единственность задачи Коши для системы (10), откуда следует теорема.

112 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ.2

d2x	(	dx\
З а д а ч а . Дано уравнение —% — f \t,		х, ^ 1, условия основной

теоремы выполнены. Могут ли две различные интегральные кривые


этого уравнения а) пересекаться; б)		касаться?
3. Комментарии к основной теореме.
1°. Для существования	решений достаточно непре-
рывности правой части / (t, x).		Справедлива
Теорем а П е а н о. Если		вектор-функция / (£, х)
непрерывна в области G а	Я?,Х\ то решение задачи Ко-

ши х ^0) = х° существует при любых (£0, х°) е G. Доказательство см. в [40].

2°. Для единственности решения непрерывности правой части / недостаточно. Пример неединственности:

dx _ о 2/3

(гл. 1, § 2, пример 1, рис. 2). Единственность нарушается на оси х = 0 — а на этой оси условия основной теоремы


не выполняются, так как производная fix)		= 2х~из обра-
щается в бесконечность.
Решение задачи Коши (7) может быть		единственным
при	более слабых условиях на вектор-функцию f{t,		x),
чш	в основной теореме. Приведем один из основных		ре-

зультатов о единственности решений.

Теорема	Осгуда. Пустьфункция <р(и) непрерыв-
на при и>0,	ф(0) ==0, ср(и) > 0 при и>0 и

при любом а > 0. Пусть для		любых точек (t, x1), (t, x2)
из области G выполняется неравенство
Тогда задача Коши	(7) имеет не более одного решения
при любых {t0, x°) e	G.
Примеры функций ф(гг):
Си, Си\|1пи\|а (сс^1),		Сы\|1пи\|\|1п11пи\|\|

и т. д., где С > 0 —• постоянная.

Более сильные теоремы едийственности читатель может найти в [53].

§ 5]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

ИЗ

3°. Теорема существования и единственности носит

локальный характер: существование решения гарантируется лишь на малом интервале времени U— to\ < б . Это по существу, как показывает рассмотренный в гл. 1, § 2

пример ^ = я 2 -

4°. Пусть G — область на плоскости it, х) (возможно, замкнутая). По определению, функция fit, х) удовлетворяет в области G условию Липшица по переменной х, если существует постоянная К>0 такая, что

для любых точек U, #4), it, х2) из области G. Постоянная К не зависит от t, xu х2. Вектор-функция f(t,x) удовлетворяет условию Липшица по х в области G, если

для любых точек (£, х1) (t, x2) из области	G.
Если функция /U, х) удовлетворяет	условию Липши-
ца в области G, то она непрерывна по переменной х при

каждом фиксированном t, т. е. функция /Uo, x) непрерывна при всех таких ху что (/0, х) е G. То же самое справедливо и для вектор-функций.

Приведем примеры функций и вектор-функций, удовлетворяющих условию Липшица.

1. Пусть функция /(#) непрерывно дифференцируема

на отрезке /: а^х^Ь.	Тогда fix) удовлетворяет усло-
вию Липшица при #€=/.	Действительно, по формуле ко-

нечных приращений Лагранжа

так что при хи

2. Пусть G= [^, t2] X Go, где GQ — замкнутая ограниченная область в пространстве/?.?. Пусть вектор-функ- ция f it, х) непрерывна по совокупности переменных и непрерывно дифференцируема по переменным хи ..., хп. Тогда из леммы 3 § 4 следует, что f(t,x) удовлетворяет условию Липшица по а? в области G. В качестве лишшщевой постоянной К в формуле (11) можно взять

К = п max / max

114 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕННИАЛЪНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. 2

3. Пусть	/ — отрезок	[-1,	1], / Ы = Я Ы , Я.8* О —
постоянная. Имеем
	X		1
	/•		г*
\х\|	== J s g n i d t ,	\xL\	— \|^ra [ = J sgn t dt%

]

так что функция К\х\ удовлетворяет условию Липшица. Производная этой функции имеет точку разрыва х = 0.

Точно так же можно доказать, что если функция fix) непрерывна на отрезке /, а ее производная fix) имеет конечное число точек разрыва и ограничена, то функция fix) удовлетворяет условию Липшица на отрезке /. При этом можно положить

£	= sup\|/'(z)\|.
Основная теорема	справедлива, если f(t,x)	удовлет-

воряет условию Липшица по х.

Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я и е д и н с т в е н н о -


с т и. Пусть	G — область в			пространстве -R^J1» вектор-
функция f it, x)		непрерывна в области G и удовлетво-
ряет условию	Липшица		по	х в каждой замкнутой огра-
ниченной областиG', содержащейся в G. Тогда решение
задачи Коши (7)		существует и единственно нанекотором
интервале XU —б, *о+ б), б > 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о			дословно повторяет доказатель-

ство основной теоремы. Условие Липшица используется при выводе оценки (5). Пусть П — параллелепипед, указанный в доказательстве; тогда для любых (tt xl), {tx д?2)еП справедлива оценка (11). Поэтому

и мы получаем те же оценки, что и выше, если во всех формулах заменить nKt на К.

4. Продолжение решений. Пусть x(t)— решение задачи Коши (7), определенное на некотором интервале /=» ^ Ui, U)' Это решение может быть продолжено, вообще


§ 5]		ДОКАЗАТЕЛЬСТВО			ОСНОВНОЙ	ТЕОРЕМЫ			Ц5
говоря, на больший интервал времени. Решение у									(t) на-
зывается		продолжением решения x(t),					если оно опреде-
лено	на	большем интервале / => /				и	совпадает		с х (t)
при	£ е / .
Решение			называется		неограниченно продолжаемым
(неограниченно				продолжаемым вперед			или	назад), если
его можно продолжить на всю ось — «>< t								< «> (на полу-
ось	t0 < t < °о			или — «>< t < t0, соответственно).					Пусть
Г — граница области G. Решение х (t) (x (t0)								= х°) называ-
ется продолжаемымвперед до границы Г, если существу-
ет его продолжение у (t),					определенное		на	конечном ин-
тервале Uo, £+),				£+ < °°, и такое, что		точки вида			(t,y(t))
при t, близких к t+, не содержатся ни в каком компакт-
ном подмножестве F области G. Аналогично определяется
продолжаемость				решения	назад вплоть до границы Г.
Т е о р е м а				о п р о д о л ж е н и и		р е ш е н и й . Пусть
в области G в пространстве Щ^1 для							системы (7) выпол-
нены	условия		основной теоремы. Тогда всякое решение
этой системы продолжается вперед						(назад) либо неогра-

ниченно, либо вплоть до границы Г, и этопродолжение единственно.

Доказательство см. в [4, 41].

Поясним понятие «продолжаемость вперед до границы» на примере одного уравнения

х = /U, z), x(t0) = х0.

Пусть y(t) •— описанное выше продолжение этого решения, определенное при t0 < t < t+< с». Имеются три логические возможности:

1. lim y(t) существует и конечен.

2. lim у (0 = оо.

3. lim у (t) не существует.

ы+

В первом случае (t, y(t)) -> U+, y+) и предельная точка интегральной кривой лежит на границе. Этот случай реализуется, например, для уравнения х = О, G — прямоугольник вида ti < t < tz, Xi < x < x2. Второй случай реализуется для уравнения х=*х2 (гл. 1, § 2). В третьем случае поведение интегральной кривой вблизи границы Г носит более сложный характер; приведем пример. Функция # = sin(l/Z) удовлетворяет уравнению х =» = —t-2 cos (1/£) в области G: t<0, —«>< х < °°, и усло-

116 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2

вия основной теоремы выполнены. Предел limx(t)

не

существует, а множество предельных точек интегральной кривой заполняет отрезок £= О, —1 «^ # ^ 1, лежащий на границе Г.

§ 6. Гладкость решений

Рассмотрим систему из п уравнений

Теорема . Пусть вектор-функция f (£, хх, х2У					... , хп)
обладаетнепрерывными производными по всем перемен-
ным	до порядка р&*1	включительно. Тогда всякое реше-
ние	системы (1) имеет непрерывные производные до по-
рядка р + 1.
Это означает, что чем глаже правые части системы,
тем глаже решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о			проведем для	случая	одного
уравнения. Пусть р = 1, тогда решение				x(t) непрерывно
дифференцируемо, в силу			основной теоремы. Имеем
					(2)
Так	как функция fit,	x)	непрерывно	дифференцируема

по совокупности переменных, то функция от одной переменной fit, xit)) непрерывно дифференцируема по теореме о дифференцируемости сложной функции. Следова-

тельно, правая		часть тождества				(2) непрерывно			диффе-
ренцируема, т. е. существует					непрерывная вторая				произ-
водная -J72". Пусть /?= 2.				Продифференцировав тождество
(2) по t,	получим
	d2x(t)		df(t,x(t))			df(t,x(t))		dx(t)
	dt2	~~	dt		+		дх	dt •
Применив	к этому		тождеству			те	же	рассуждения, что
и выше, получим, что существует							непрерывная		третья
производная решения				3	, и т.		д.

§ 7]

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ

117

§ 7. Зависимость решений от параметров

иначальных условий

1.Непрерывная зависимость решений от параметров.

Дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, всегда содержат некоторые параметры (масса, упругость и т. д.). Эти параметры в реальных задачах никогда не могут быть измерены абсолютно точно, т. е. всегда измеряются с некоторой погрешностью, так что сами дифференциальные уравнения известны лишь с некоторой степенью точности. Поэтому, для того чтобы уравнения могли описывать реальные процессы, необходимо, чтобы их решения непрерывно зависели от параметров, т. е. чтобы они мало менялись при малых изменениях параметров.

Перейдем к точным формулировкам.

Т е о р е м а о н е п р е р ы в н о й з а в и с и м о с т и ре-

ш е н и й

от

п а р а м е т р о в .

Рассмотрим задачу Коши

для одного уравнения

-£• = } (*, х, (я),

х (*0, v) = xOf

(1)

где

\i — параметр. Пусть

G — область в пространстве

(t, х, |LI). Если

функции

fit,

х,

\i),

д*'

непрерывны

в области G

по

совокупности

переменных

и точка

(£0,

х0, 110)е

G, то решение задачи Коши

(1)

x(t, \i) не-

прерывно по совокупностипеременных (£,

JLX> в некоторой

области \t —tо| ^ б,

I[х — |л01 ^

64.

Интегральные кривые уравнения (1) образуют семей-

ство кривых,

проходящих

через

точку

UOi #o). Теорема

утверждает,

что интегральные

кривые, отвечающие

близ-

ким

значениям параметра [х, близки.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сведем

задачу

Коши (1)

к эк-

вивалентному ей интегральному уравнению

х (t, \i) = х0

+ J / (т, х (т, \i),\i) dx

(2)

'о

или, воператорной форме,

х = А{х).

(3)

Возьмем

параллелепипед

По : \t — to\^a,

\x —

xo\^b

118 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1ГЛ. 2

||i —|хо 1^с, лежащий в области G, и обозначим

o
п0		0	отображе-
Применим к уравнению (3)		принцип сжатых	отображе-
ний. В качестве В	возьмем пространство функций x(t, \x),
непрерывных при	U—£01 < 6,	1ц,— jiol ^ с, где	б > 0 бу-
дет выбрано ниже, с нормой

\z{t,\i)\.

В качестве М возьмем множество функций из В таких, что Wxit, \х) —хо\\с ^ Ъ. Заметим, что если Ф (£, \i) e Bf то функция

А (ф)	= х0	+ J / (т, Ф (т, и), \|i) dt
непрерывна по ж	и ц	при U — f o l < 6 , 1[1--Цо1^^, по

теореме о непрерывности интеграла, зависящего от параметра. Повторяя далее дословно доказательство основной

теоремы, получаем,	что при 6 ^	Ь/Ко, б < q/Ku	где	0 <
< q < 1, оператор А	сжимает Л/, откуда и вытекает			на-
стоящая теорема.
Точно так же формулируется		и доказывается	теорема

о непрерывной зависимости от параметров для системы:


где	ii = (JLX1, ... , ^im ), JULJ — п а р а м е т р ы .
Т е о р е м а о д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т и р е ш е н
по	п а р а м е т р у .	Пусть в некоторой области G									про-
странства {t, х, \i) вектор-функция					f	имеет непрерывные
производные до порядка			р ^ 1 включительно					по	перемен-
ным	t, х, \л.Тогда решение задачи Коши						(4)	x(t,	jui)		име-
ет р	непрерывных	производных		по		переменным				(£,	jm).
Д о к а з а т е л ь с т в о			проведем		для		случая			одного
уравнения и одного		параметра		JLI (СМ.(1)). Пусть						/?= 1,
# = ф(£, ^i) — решение			задачи	Коши		(1). Функция					х =
= ф(£, \х + А\х) удовлетворяет уравнению

§ 7]	ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ	119
и данным Коши (1), так что Дф = cpU, ц + Дц) —ф(£,
удовлетворяет уравнению
Т Г	- / (, Ф (, И + АИ), И+ Дц) - /(«, Ф(, И), ()•

Правую часть по лемме Адамара (§4) можно представить в виде F Дф + G Дц, где F, G — непрерывные функции от переменных t, ф(£, jx), ф(£, JA+ ДЦ), \х, [Л+ Ajx, и для функции Дф/Д|л получаем линейное уравнение

Поскольку функции ф(£, ц) и ф(^, ц + Д(л) удовлетворяют одним и тем же данным Коши, то

	4 ? 1 .	. -	о .
Правая часть	уравнения (5)	непрерывна по переменным
t, Aji и непрерывно дифференцируема				по	переменной
Дф/Д\|х, так как, в силу леммы Адамара, функции F, G —
		Y	« df	df	„
интегралы от	непрерывных	функции -гц-, -gj-. В силу тео-

ремы о непрерывной зависимости от параметров функция Дф/Дц непрерывна при достаточно малых |Дц|, а потому

существует конечный предел lim --—•= -т- • Из леммы Адамара следует, что

дх

так что производная -у удовлетворяет уравнению

и данным Коши -т-^Ч = 0 .

С/|Л \tzsst Q

Если правая часть /U, х, \х) имеет непрерывные производные до порядка р > 2 включительно, то» применяя

к уравнению (6) те же рассуждения, что и выше, мы до- кажемdt-£д\к'л Продолжисуществованиеэти рассуждениянепрерывность,получимпроизводныхдоказатель—^%2х--

120 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2

ство теоремы для одного уравнения, точно так же доказывается теорема для системы (4).

Рассмотрим задачу Коши для одного уравнения

• £ = /(*.*)» *(*о) = *о.

(7)

Начальные данные t0, х0 также можно рассматривать как параметры. С помощью замены

получаем задачу Коши

-§-/(',*), *(0)=0.

Правая	часть /47, х) в /(? + t0, х + х0) зависит от на-
чальных	данных как от параметров, а начальные данные

£(0) = 0 не зависят от параметров. Поэтому из предыдущей теоремы следует, что если правая часть/U, х) имеет непрерывные производные до порядка р&*1 включительно, то решение x(t; t0, x0) задачи Коши (7) имеетнепрерывные производные до порядка р > 1 включительно по совокупности переменных t, i0, x0.

Аналогично формулируются и доказываются теоремы о непрерывной зависимости и дифференцируемости по параметрам и начальным данным для одного уравнения n-го порядка в нормальной форме.

Уравнение (6) называется уравнением в вариациях. Если решение x(t, \x) известно, то это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнения для

высших	производных!—)	х также	будут линейными.
Пусть решение задачи Коши (1) известно при неко-
тором	частном значении	параметра И'==[х0: х		Ш
Тогда	можно вычислить	все производные ( — ] х
используя уравнения в вариациях.			Действительно,	при
(лв Но имеем линейное уравнение

дх 1

Проинтегрировав это уравнение, найдем -щ; j ^ ^ . Аналогично вычисляются высшие производные

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дифференциальные уравнения

#
21.05.201518.32 Mб613_250.pdf
#
21.05.201521.78 Mб844Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985.pdf
#
21.05.20156.09 Mб521Эльсгольц Л.Э. - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.pdf