9

7.2.1. Закон тепловіддачі

Як основний закон тепловіддачі прийнято закон охолодження Ньютона — Ріхмана.

Кількість теплоти, передана стінкою рідині чи навпаки на межі поділу двох фаз, пропорційна різниці температур, площі теплообміну, часу і коефіцієнту тепловіддачі.

Рівняння має такий вигляд:

стінки і рідини; dF — площа, від якої чи до якої передається теплота; dτ — час.

Диференціальне рівняння (7.17) виражає закон Ньютона — Ріхмана. Фізичний сенс α — кількість теплоти, передана одиницею поверхні за одиницю часу з одного середовища в інше з різницею температур середо-

вищ 1°С.

Потужність теплового потоку, Вт:

dQdτ = Q = α(tст −tp )F.

Питомий тепловий потік, Вт/м2:

QF = q = α(tст −tр).

Термічний опір тепловіддачі пристінного примежового шару:

Rк = α1 .

Коефіцієнт α залежить від геометричних, фізичних та інших параметрів, це не таблична величина (α = f(ρ, µ, δ, σ, ∆, ∆ρ, t°, ν, Re)), тому неможливо дати загальну формулу для визначення α. Крім того, у кожному випадку використання α треба проводити експериментальні дослідження. Для вивчення процесу конвективного теплообміну залучають теорію подібності.

121

7.2.2.Диференціальне рівняння конвективного теплообміну

Розгляньмо випадок стаціонарного теплообміну, при цьому вважатимемо, що фазового перетворення не відбувається (рис. 7.10) (фазове перетворення — це таке явище, коли тепловий потік змінює агрегатний стан середовища) і теплоємність — постійна величина. Виділімо в рідині елементарний об’єм dv і позначимо: Wx, Wy, Wz — швидкості руху через виділений об’єм, ρ — густина, t — температура. Для виділеного елементарного об’єму dV складімо рівняння теплового балансу.

Теплообмін відбувається в рухомому середовищі, отже, теплоту підводять до тіла і відводять від нього рухомими об’ємами рідини. Розгляньмо елементарний об’єм dV (рис. 7.11).

Qx =CtρWxdydz;

Qy = CtρWy dxdz;

Qz = CtρWz dxdy,

де C — теплоємність рідини, Дж/(кг·°С).

Кількість теплоти, виведена через протилежні грані:

122

Різниця між кількістю введеної і виведеної теплоти:

У разі стаціонарного процесу кількість теплоти у виділеному об’ємі рідини залишається незмінною і тому теплота dQ, винесена потоком рідини з об’єму, компенсується притоком теплоти, що прийшла до граней паралелепіпеда за допомогою теплопровідності згідно з рівнянням (7.2):

123

Зрівняємо праві частини рівнянь:

де a = ρλc — коефіцієнт температуропровідності.

Вираз (7.18) називають рівнянням Фур’є — Кірхгофа. У диференціаль-

ному рівнянні конвективного теплообміну (7.18) змінні величини, крім температури, також швидкість і густина рідини. Це рівняння розглядають разом з рівнянням руху рідини Ейлера:

Неможливість спільного аналітичного розв’язання рівнянь (7.18) і (7.19) для конвективного теплообміну змушує вдаватися по допомогу до апарату теорії подібності, тобто заміняти дії над диференціальними рівняннями діями над критеріальними рівняннями, отриманими з цих диференціальних рівнянь.

7.2.3. Теплова подібність

Для повного опису конвективного теплообміну разом з рівнянням Фур’є — Кірхгофа задають додатково межові умови, що випливають із законів теплообміну на межі твердого тіла і навколишньої рідини.

Тепловий потік, пройшовши за допомогою теплопровідності у твердому тілі, далі поширюється за допомогою конвекції в рідині. Умови теплообміну, що виникають на межі двох фаз, називають межовими. Вони зумовлені складними процесами, що відбуваються в пристінному примежовому шарі. Цей примежовий шар нерухомий відносно до рухомої рідини. Його товщина залежить від безлічі фізичних і геометричних факторів, це не однозначна фізична характеристика.

Під час проходження теплового потоку через тверде тіло (рис. 7.12) маємо згідно із законом Фур’є:

dQ = −λ dndt dFdτ.

124

Рівняння (7.20) називають межовими умовами третього роду, вони описують теплообмін на межі тверде тіло — рідина.

Для рухомої рідини розгляньмо рівняння Фур’є — Кірхгофа (7.20) за одним напрямком x:

Використовуємо апарат теорії подібності, тобто розглядаємо цю систему і подібну їй. Вводимо масштабні множники:

aW = Wx1 — швидкості;

Wx2

at = t1 — температури; t2

aa = a1 — температуропровідності; a2

Методом теорії подібності отримуємо

Порівняння виразів (7.21) і (7.22) свідчить про їх ідентичність за умови

Отриманий безрозмірний комплекс називають критерієм Пеклє: Pe = Wla .

125

Фізичний сенс: критерій Пеклє — це критерій теплової подібності,

що характеризує міру відношення теплоти, перенесеної конвекцією, до теплоти, перенесеної теплопровідністю:

Pe = ρCρW ∆t .

λl ∆t

Розглянемо рівняння (7.20) і введемо в нього масштабні множники:

Отримуємо головний критерій теплової подібності — критерій Нуссельта:

Nu = αλl ,

який характеризує інтенсивність конвективного теплообміну на межі поділу двох фаз, або міру відношення термічного опору теплопровідності до термічного опору тепловіддачі в примежовому шарі:

l

Nu = λ1 .

α

7.2.4.Основні критерії гідродинамічної подібності

1.Критерій Фруда

Fr = Wgl2 ,

де g — прискорення сили тяжіння; 1 — визначальний розмір; W — швидкість.

Фізичний сенс: міра відношення сил інерції до сил тяжіння, відображає закономірності руху рідини під впливом сил тяжіння.

2. Критерій Ейлера

Eu = ρ∆WP2 ,

де ∆Р — перепад тиску чи втрата напору; ρ — густина; W — швидкість.

126

Фізичний сенс: характеризує відношення сил тиску до сил інерції і відображає вимушений рух і його причину — втрату напору.

3. Критерій Рейнолъдса

Re = Wµρ = Wlν ,

де µ — динамічна в’язкість; ν — кінематична в’язкість.

Фізичний сенс: характеризує відношення сил інерції до сил в’язкості чи характеризує вимушений рух. Залежно від числового значення крите-

7.2.5.Похідні критерії

1.Добуток критеріїв Фруда і Рейнольдса називають критерієм Га-

лілея:

Ga = Fr Re2 = gl2 ,

ν2

що відображає вільний рух рідини внаслідок різниці густин. 2. Критерій Грасгофа

Gr = gl3 β∆t,

ν2

де β — коефіцієнт об’ємного розширення рідини; ∆t — різниця температур у різних точках рідини.

Цей критерій характеризує міру відношення підйомної сили, що виникає внаслідок різниці густин рідини і сил молекулярного тертя, відображає вільну конвекцію і її причину — різницю температур у різних точках рідини.

3. Критерій Пеклє

Pe = wla ,

де а — коефіцієнт температуропровідності.

Критерій характеризує теплообмін у потоці рідини.

127

4. Критерій Архімеда

Ar = gl3 ρ−ρ1 ,

ν2 ρ1

де ρ — густина середовища в точці відліку.

Критерій характеризує підйомну силу в рідині внаслідок різниці густини в різних її точках.

5. Критерій Прандтля

Pr = RePe = νa = νρλC ,

де C — теплоємність; λ — коефіцієнт теплопровідності.

Цей критерій характеризує фізичні властивості рідини чи подібність фізичних властивостей теплоносіїв.

У теорії конвективного теплообміну можна встановити функціональну залежність критеріїв і симплексів подібності:

Така функціональна залежність характеризує процес конвективного теплообміну і для кожного особливого випадку її можна спростити.

7.2.6.Дослідні дані щодо тепловіддачі під час конвективного теплообміну

Коефіцієнт тепловіддачі у разі вимушеного турбулентного потоку в прямій трубі круглого перерізу

У цьому разі функціональна залежність (7.23) набуває вигляду критеріального рівняння:

Nu = f (Re, Pr, l1 ). l1′

Результат обробки дослідних даних для цього критеріального рівняння — розрахункова критеріальна залежність:

Для коротких труб де 30 > l/d > 40, перевищення коефіцієнта α за рівнянням (7.24) становить від 2 до 7 %.

128

Коефіцієнт тепловіддачі α у разі перехідного режиму руху в прямій трубі круглого перерізу

Коефіцієнт тепловіддачі можна розраховувати в першому наближенні за виразом (7.24), помноженим на коефіцієнт f = 1,6·105·Re–1,8:

Nu = 0,023 Re0,8 Pr0,4 f ;

Nu = 0,023 · 1,6 · 105 · Re–1 Pr0,4.

Коефіцієнт тепловіддачі α за вимушеного ламінарного потоку в прямій трубі круглого перерізу

У разі ламінарного руху позначається вплив вільної конвекції, а також напрямок вектора теплового потоку.

Межа застосування належить діапазону добутку (Re · Pr) > 1800, і рівняння у цьому разі має вигляд:

У критерії Грасгофа Gr ∆t — різниця температур рідини і стінки. Значення фізичних констант розраховують за середньої температури рідини і стінки, тобто для визначальної температури:

t0 = tст 2−tр .

Для вертикального розміщення труб (а для ламінарного руху рідини розміщення труб має суттєве значення):

—якщо напрямки вільного і вимушеного руху рідини збігаються, то коефіцієнт тепловіддачі α визначають за рівнянням (7.25), помноженим на 1,15;

—якщо напрямки вільного і вимушеного руху рідини не збігаються, коефіцієнт тепловіддачі α ввизначають за рівнянням (7.25), помноженим на 0,85.

Коефіцієнт тепловіддачі в трубі будь-якої форми перерізу

Як визначальний розмір у критеріях подібності беруть значення еквівалентного діаметра:

l = dекв = 4ПF ,

де F — площа перерізу; П — периметр цього перерізу. Значення еквівалентних діаметрів найпоширеніших перерізів:

круга —

129

рівнобічного трикутника зі стороною a (рис. 7.13) —

де його висота:

Рис. 7.13

Коефіцієнт тепловіддачі α у вигнутій трубі (змійовику)

Упроцесі протікання рідини по вигнутій трубі турбулентність потоку посилюється під впливом відцентрових сил, і в перерізі такої труби завжди виникає додаткова (вторинна) циркуляція рідини.

Уцьому разі коефіцієнт тепловіддачі розраховують за формулою

αR = α(1 +1,77 dR),

де α — коефіцієнт тепловіддачі, розрахований для прямої труби; d — діаметр труби; R — радіус кривизни (див. рис. 7.13).

Коефіцієнт тепловіддачі α для рідини, перемішуваної механічними мішалками

Якщо рідині надають руху механічні мішалки (рис. 7.14), то значення α залежитиме:

а) від форми поверхні нагрівання; б) розмірів робочих органів перемішувальних пристроїв;

в) обертової частоти мішалки, оскільки під час перемішування виникає вимушена конвекція, то критеріальне рівняння можна записати у вигляді:

Nu = c Reмn Prm ,

130