9

Тепер, знаючи швидкість, можна визначити об’ємні витрати:

З урахуванням виразів (10.56) і (10.57) отримуємо остаточну формулу для визначення ∆t2:

Кількість теплоти, яка дисипує в об’ємі каналу і яка повністю залишається в полімерній системі, можна визначити за такою формулою, проінтегрувавши (10.56)

0<β< βi .

Унаслідок інтегрування рівняння (10.57) отримуємо вираз для визначення об’ємних витрат

Gi = n2+n1 rст3 γст A,

де A = f (βi, n), тобто залежить від форми перерізу та місця, у якому визначають витрати.

Рух розплаву на передвхідних ділянках каналу можна вважати таким, що протікає в адіабатичних умовах. Тому підвищення температури за рахунок дисипації з урахуванням виділення теплоти на вході в канали литтєвих машин визначають так:

∆ti = Qi +G∆P1 +Gi ∆P2 ,

GCρ

де ∆Р1 — передвихідні втрати тиску; ∆Р2 — перепад тиску в каналі.

211

10.7.Валкові машини

10.7.1.Тепловий баланс валкових машин

Режим нагріву або охолодження валків, вальців або каландрів визначається технологічними вимогами і підтримується автоматично. Нагрів або охолодження кожного валка відбувається здебільшого індивідуально.

Процес вальцювання полімерної маси зазвичай супроводжується виділенням теплоти. Тому режим охолодження вальців треба визначати складанням теплового балансу.

Рівняння теплового балансу має такий вигляд:

де Gм — витрати матеріалу, що надходять на переробку; См — питома теплоємність матеріалу; tпм, tкм — температура на вході і на виході; QN — кількість теплоти, що виділяється за рахунок пластичної деформації; Gв — витрати води для охолодження валків; Св — питома теплоємність води; tпв, tкв — температура води відповідно на вході та на виході з валків; Qвт — втрати в навколишнє середовище.

Ліва частина рівняння (10.58) враховує прихід теплоти з матеріалом, водою і за рахунок пластичної деформації. Права частина характеризує втрати теплоти на нагрівання матеріалу, води і в навколишнє середовище.

Кількість теплоти, яку має відібрати охолодна вода, визначаємо з

(10.58):

GвCв(tпв −tкв) = GмCм (tкм −tпм ) + Qвт −QN .

Кількість теплоти, що виділяється за рахунок пластичної деформації QN, дорівнює середній потужності, спожитій вальцями. Середню потужність N1 розраховують за рівнянням

N1 = (Mд +ηM тер )n ,

де Мд — момент опору на подолання деформації матеріалу, який можна визначити з виразу

Mд = Pmax D sin α2 ;

Мд — момент опору тертю в підшипниках

Mтер = fd(Pmax +Gвал ) ,

де п — середня швидкість обертання двох валків; η = 0,7… 0,8 — ККД урухомника з урахуванням втрат в підшипниках; Рmax — максимальний

212

тиск валків на матеріал; D — діаметр валків, α — кут захоплення матеріалу валками; f — зведений коефіцієнт тертя в підшипниках; d — діаметр цапфи валка; Gвал — силатяжіння валка.

Максимальний тиск валків на матеріал Рmax визначають з рівняння гідродинамічної течії:

де β — відносне збільшення ширини вальцьованого матеріалу; β = bк/bп; bк, bп — кінцева і початкова ширина вальцьованого матеріалу; К — коефіцієнт, що враховує настання пластичної деформації; σп — межа плинності матеріалу; ∆h — лінійне стиснення матеріалу в зазорі, ∆h = hп — hк, hп — початкова товщина матеріалу перед зазором; hк — кінцева товщина або величина зазору; δ — визначають за формулою

δ = µефctg α2 ,

де еф — ефективна в’язкість матеріалу.

Переріз, у якому швидкість обертання валків дорівнює швидкості руху матеріалу, називають нейтральним і позначають hн.п.

Товщину нейтрального перерізу можна визначити за такою залежністю:

Втрати теплоти в навколишнє середовище складаються з витрат за рахунок конвекції та випромінювання:

Qвт = (qв + qк )F,

де qк, qв — тепловий потік відповідно за рахунок теплопередачі і за рахунок випромінювання теплоти з поверхні валка F.

Щоб визначити тепловий потік за рахунок теплопередачі, потрібно знати середній температурний натиск:

∆tcp =tв.к −tв.п = 4...6 DC,

де tв.п, tв.к — відповідно початкова і кінцева температура валка.

На відміну від вальців матеріал, який переробляють на каландрах, проходить через зазор між валками неодноразово. Тому валки мають однаковий

213

діаметр і зазвичай обертаються з однаковою швидкістю. Під час каландрування полімерного матеріалу його деформація невелика й енергії пластичної деформації недостатньо, для того щоб нагріти матеріал до температури переробки, тому докаландрових валків слідбезперервно підводити теплоту.

Кількість теплоти, підведеної до валків каландра, визначають з рівняння теплового балансу

Qт = GмCм (tм.к − tм.п ) − Qвт − QN .

Теплота Qт передається матеріалу через певну поверхню теплообміну. Для каландра ця поверхня

F = ϕ 2360πR B ,

де ϕ — центральний кут захоплення валка перероблюваним матеріалом, зазвичай для тривалкових каландрів ϕ = 240°, тоді

F = 3 240 2360πR B ,

де R, B — радіус і довжина бочки валка.

У разі електронагрівання валків потужність нагрівачів, кВт:

Wен = Q860тK ,

де K — коефіцієнт запасу потужності, що враховує можливі втрати теплоти на різку зміну температури навколишнього середовища і т. ін.

10.7.2.Енергетичний і тепловий розрахунок валкових машин

Для вибору системи нагрівання каландра, вальців слід розглянути енергетичний баланс процесу каландрування. Рівняння повного енергетичного балансу для каландра має такий вигляд:

де П — продуктивність каландра; iп′, iп′′— ентальпія полімеру на вході і

m

виході з каландра за середньої температури; ∑Qн — сумарна кількість

j=1

теплової енергії, підведеної до валків нагрівачами; m∑−1Qдис — енергія ди-

j=1

214

m

сипації у зазорах між валками; ∑Qвт — сумарні втрати теплоти від ма-

j=1

теріалу й оголеної частини валків в навколишнє середовище; т — кількість валків, що входять у систему.

Суму втрат теплоти визначають за формулами конвективного теплообміну і теплообміну радіацією. Визначивши залежність Qдис від параметрів і геометрії процесу каландрувания, можна знайти кількістьтеплоти, яку треба підводити до валків. Значення Qдис можна отримати внаслідок розв’язання системи диференціальних рівнянь руху, суцільності потоку, енергії і реологічного степеневого рівняння з урахуванням температурної залежності.

Рівняння руху для цієї задачі має такий вигляд:

де Р — тиск на матеріал; τух — напруженнязміщення. Рівняння суцільності потоку

де Ux, Uy — компоненти швидкості зміщення в напрямку відповідних осей. Рівняння енергії

де ν — кінематична в’язкість полімерного розплаву; Сп — теплоємність полімерного розплаву; qx — інтенсивність дисипації енергії; I — термічний еквівалент роботи.

Реологічне рівняння

де K0 — реологічна константа за температури t0 для конкретного матеріалу.

215

Для рівнянь (10.59)—(10.62) межові і початкові умови:

якщо y = ±h, Ux =U, t =tв ;

якщо x =Хп, t =t0 ;

якщо y = 0, dUdyx = 0 ,

де U — колова швидкість валка; h — відстань від площини симетрії до поверхні валка.

Унаслідок спільного розв’язання рівнянь (10.59)—(10.63) отримано рівняння дисипативної функції:

де ρ, η, λ — безвимірні змінні, які визначають за такими формулами:

ρ = 2XH0 R ; η = Yh ;

h = H0 (1 +ρ)2 ,

де2Н0 — мінімальний зазор між валками; λ — товщинаматеріалу вточці виходуіззазоруміжвалками, якувизначаютьекспериментально; R — радіусвалка.

Рівняння температурного поля у міжвалковому зазорі має вигляд

216

Коефіцієнти А і В з рівняння (10.65) визначають за формулами:

Рівняння (10.65) температурного поля у міжвалковому зазорі можна розв’язати на ЕОМ методом кінцевих різниць і отримати криві для інтенсивності дисипації енергії вигляду q = f (λ, ρ, n) .

Якщо робоча довжина валка дорівнює L, загальна енергія дисипації

Qдис = L∫∫qdxdy .

Переходячи до безрозмірних змінних, отримуємо значення енергії дисипації

де ρн — найбільша товщина матеріалу між валками (рис. 10.10).

Рис. 10.10

Підставивши в рівняння (10.66) значення qдис (10.64) та взявши інтеграл за dη, отримуємо

Qдис = 2LIK0 exp[−β(t −t0 ) /(t0 − 273)]×

217

Витрачена потужність з урахуванням дисипації механічної енергії

N =Qдис / І.

Крутний момент на валках

M= (NR) / I.

10.8.Дискові та комбіновані змішувачі

Метод розрахування енергетичних і теплових параметрів дискових та комбінованих (черв’ячно-дискових) змішувачів базується на визначенні функції дисипації. Самостійне визначення цієї функції дозволяє встановити температурне поле, середньоінтегральне значення температури в зазорі між дисками, розрахувати енергетичні й теплові параметри машини.

Розгляньмо найпростішу схему дискового змішувача плоский диск — площина (рис. 10.11).

Рис. 10.11

Задачу можна розв’язати, використавши рівняння енергії, руху і суцільності для наведеної геометричної схеми. Для розв’язання допускають таке:

— рух потоку розплаву полімеру в зазорі між дисками ламінарний

і сталий;

—швидкості, напруження, температури не залежать від координати φ у зв’язку із симетрією потоку відносно осі;

—масові сили нехтовно малі порівняно з пружно-в’язкими силами після досить малого часу від початку обертання диска;

—теплопровідність матеріалу по радіусу обертання диска нехтовно мала порівняно з перенесенням енергії вздовж осі обертання, оскільки зазор між дисками на порядок менший за діаметр дисків;

—теплофізичні характеристики розплаву (крім в’язкості) вважають незалежними від температури;

218

—зміна густини розплаву неістотна із зміною тиску (через малий тиск у змішувачі);

—швидкістю перенесення маси в напрямку координати z можна знехтувати.

Загальне рівняння з урахуванням допущень має такий вигляд:

Y'' = d2Vr/dz2; η = z/H — безрозмірний зазор між дисками; z — змінна координата; К — консистентнiсть розплаву, розраховують за формулою (10.63); С — функція, що враховує пружні властивості середовища, встановлюють експериментально. Коефіцієнт А визначають за формулою

де п — індекс плинності розплаву.

Розв’язати це нелінійне диференціальне рівняння можна методом Бу- бнова—Гальоркіна, основаним на записі рівняння складової вектора швидкості у вигляді полінома

Значення параметрів а і b знаходять за допомогою ЕОМ методом Ньютона, отримуючи при цьому криві зміни відносних величин ψ = Rr2 і

η = z/H за товщиною зазору між дисками, якщо 0 < η < 1.

Рівняння (10.69) розв’язують за таких межових умов: Y│η=0; Y│η=1, а також Y η=−ba = 0 .

Рівняння енергії для сталого процесу (рідина нестислива, перенесення теплоти в радіальному і кутовому напрямку за рахунок теплопровідності не враховують):

219

У рівнянні (10.70)

Підставивши в рівняння (10.70) значення (10.69) і (10.71), можна за допомогою ЕОМ визначити температурне поле в зазорі між рухомим і нерухомим дисками. Для цього запишемо рівняння енергії у вигляді, зручному для програмування:

У рівнянні (10.72) безрозмірний параметр θ визначають за формулою

де tр.д, tн.д — температури відповідно рухомого та нерухомого дисків. Значення F(ψ; θ) залежить від енергії дисипації

де G — витрати полімеру чи продуктивність машини; iп′, iп′′ — ентальпія

полімеру відповідно на початку і в кінці процесу; Qн — кількість теплоти від нагрівачів; QN — кількість теплоти, виділеної за рахунок дисипації механічної енергії; ∑Qвт — втрати в навколишнє середовище.

Енергію дисипації можна визначити як інтеграл за об’ємом від функції дисипації

Після підстановки значення (10.71) та інтегрування отримуємо

220