Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

Дискретний аналіз

Частина 2. Елементи математичної логіки

Курс лекцій

для студентів спеціальностей,

пов’язаних з інформаційними технологіями та

захистом інформації

Рекомендовано Методичною радою НТУУ «КПІ»

Київ

НТУУ «КПІ»

2010

Дискретний аналіз: Ч.2 Елементи математичної логіки: Курс лекцій для студентів спец., пов’язаних з інформ. технологіями та захистом інформації / Уклад. М.К.Мороховець. – К.: НТУУ «КПІ», 2010. –– 70 с., 8 рис., 4 джерела.

Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ»

(протокол № 5 від 21.01.2010 р.)

Навчальне видання

Дискретний аналіз

Частина 2. Елементи математичної логіки

Курс лекцій

для студентів спеціальностей,

пов’язаних з інформаційними технологіями та

захистом інформації

Укладач	Мороховець Марина Костянтинівна
Рисунки виконав	К.О.Панков

Відповідальний редактор

М.М. Савчук, д-р фіз.мат.наук

Рецензенти	М.М.Глазунов, д-р фіз.мат.наук
	А.М.Чеботарьов А.М., д-р техн.наук

ВСТУП

Розділ «Елементи математичної логіки» є частиною курсу «Дискретний аналіз», що викладається студентам першого року навчання. Читачеві даного видання пропонується орієнтоване на початківців викладення базового розділу математичної логіки – логіки висловлень. Приділяється увага зв’язку між природною мовою та мовою логіки висловлень, підкреслено роль мови логіки висловлень як засобу подання міркувань. Розглянуто методи перевірки правильності міркувань, що можуть бути записані мовою логіки висловлень.

Матеріал даного видання можна умовно поділити на дві частини – «теоретичну» та «практичну». У першій частині викладено основні теоретичні відомості з логіки висловлень, які подаються невеликими за обсягом порціями. Після кожної такої порції наведено контрольні питання й задачі та вправи, з якими студентам рекомендується працювати для кращого засвоєння матеріалу та набування навичок його практичного застосування. У другій, «практичній», частині видання розглянуто типові задачі, для розв’язання яких застосовуються методи математичної логіки, а саме: задача перевірки правильності міркування та задача сумісності (суперечності) сукупності тверджень. Докладно описано, як звести задачу перевірки правильності міркування до задачі перевірки логічного слідування формули логіки висловлень з сукупності формул логіки висловлень, а також як звести задачу перевірки сумісності сукупності тверджень до задачі перевірки тотожної хибності формули логіки висловлень. На простих, але змістовних прикладах проілюстровано, як використовувати методи, викладені у «теоретичній» частині даного видання для розв’язання цих задач.

Мова логіки висловлень

Висловленням будемо називати стверджувальне речення, яке може бути істинним або хибним, але не тим та іншим разом. Приклади висловлень: «Київ – столиця України»; «Місяць – супутник Землі». «Істина» або «хибність», приписані деякому висловленню, називаються істинносними значеннями цього висловлення і позначаються 1 і 0 відповідно. Будемо використовувати великі літери (можливо, з індексами) або ланцюжки таких літер для позначення висловлень. Наприклад, ми можемо позначити висловлення таким чином:

U: Земля обертається навколо Сонця.

Q: Троянда є рослиною.

P: Мої друзі навчаються в університеті.

Символи U, Q, P й т.п., що позначають висловлення, будемо називати атомарними формулами, або атомами. Для побудови складних висловлень у природній мові користуються сполучниками. Наведемо приклади.

1) Зараз іде дощ, й небо захмарене.

2) Якщо мами немає вдома, то ця дівчинка сумує.

3) Якщо літо спекотне або до нас приїжджають родичі з Сибіру, то ми відпочиваємо у горах.

4) Матриця має обернену тоді й тільки тоді, коли її визначник не дорівнює нулю.

У логіці висловлень для побудови з атомарних формул складених виразів будемо використовувати логічні зв’язки:  – заперечення (аналог частки «не»),  – кон’юнкція (аналог сполучника «та», або «й»),  – диз’юнкція (аналог сполучника «або»),  – імплікація (аналог зворотів «якщо …, то», «тільки тоді, коли…»),  – рівносильність, або еквівалентність (аналог звороту «тоді й тільки тоді, коли»). Дамо рекурсивне визначення формули (або правильно побудованого виразу) логіки висловлень.

1. Атом є формулою.

2. Якщо F – формула, то (F) – формула.

3. Якщо F₁, F₂ – формули, то (F₁)(F₂), (F₁)(F₂), (F₁)(F₂), (F₁)(F₂) – формули.

4. Якщо F – формула, то (F) – формула.

5. Інших формул немає.

Мовою логіки висловлень назвемо множину усіх формул (або правильно побудованих виразів) логіки висловлень.

Приклади формул: (P) ((Q)  (((P))  (R))); ((Q)  ((P)  ((R)))); (((Q)  (P))); (((Р)(Q)))(((R))((Q))). Вирази P, PQ, PQ, R() не є правильно побудованими.

Якщо вважати, що логічним зв’язкам приписано ранг, що зменшується згідно з таким порядком: , , , , , й умовитися, що зв’язка з більшим рангом має більшу область дії, то без деяких дужок у формулах можна обійтися. Крім того, домовимося опускати зовнішні дужки формули та дужки біля атомів. Таким чином,

RPQ означає ((R)((P)(Q))),

PQRQP означає (((P))((Q)(R)))(((Q))(P)),

PQR означає ((P)((Q)))(R).

Формули можуть мати імена. На письмі ім’я формули розміщується перед формулою й між ними ставиться знак «=». Наприклад, F=Р(QR).

Подамо у вигляді формул висловлення 1) - 4), наведені вище, або, іншими словами, виконаємо переклад цих висловлень мовою логіки висловлень. Для цього треба здійснити розбір кожного висловлення як речення української мови, виділити у кожному з них прості речення; розглядаючи кожне з простих речень як висловлення, увести для нього позначення (атом); потім з’ясувати, за допомогою яких мовних засобів з простих речень утворене складне речення, знайти у мові логіки висловлень відповідні логічні зв’язки й побудувати формулу з уведених атомів та знайдених логічних зв’язок, зберігаючи структуру даного висловлення.

Отже, розглянемо висловлення 1): «Зараз іде дощ, й небо захмарене». Це є складносурядне речення; воно складається з двох простих речень, кожне з яких є простим висловленням («зараз іде дощ» та «небо захмарене»). Позначимо висловлення «зараз іде дощ» символом А, а висловлення «небо захмарене» – символом В (тобто уведемо атоми А та В). Зазначимо, що висловлення 1) утворене з виділених простих висловлень за допомогою сполучника «й», аналогом якого є логічна зв’язка . Отже, висловлення 1) можна подати у вигляді такої формули логіки висловлень: АВ.

Висловлення 2) складене з простих висловлень «мами немає вдома» (уведемо для його позначення атом С) та «ця дівчинка сумує» (уведемо для його позначення атом D) за допомогою звороту «якщо…, то», аналогом якого є логічна зв’язка . Отже, це висловлення можна подати у вигляді формули СD.

Висловлення 3) є складнопідрядним реченням, що складається з двох частин, кожна з яких є висловленням, а саме: «літо спекотне або до нас приїжджають родичі з Сибіру» та «ми відпочиваємо у горах»; ці частини з’єднані у одне речення за допомогою звороту «якщо…, то». Отже, переклад цього висловлення мовою логіки висловлень буде мати форму XY. Знайдемо тепер формули, які маємо підставити замість Х та Y. Зрозуміло, що замість Х треба підставити переклад мовою логіки висловлень фрази «літо спекотне або до нас приїжджають родичі з Сибіру», а замість Y – фрази «ми відпочиваємо у горах». Проаналізуємо висловлення «літо спекотне або до нас приїжджають родичі з Сибіру». Це є складне речення, що утворене з двох частин («літо спекотне» та «до нас приїжджають родичі з Сибіру», що з’єднані за допомогою сполучника «або», причому кожна з частин є простим висловленням. Отже, можемо увести атом Е замість висловлення «літо спекотне» та атом G – замість висловлення «до нас приїжджають родичі з Сибіру». Таким чином, перекладом висловлення «літо спекотне або до нас приїжджають родичі з Сибіру» буде формула ЕG, отже, ми знайшли вираз Х. Тепер знайдемо вираз Y. Для цього проаналізуємо висловлення «ми відпочиваємо у горах». Це є просте висловлення; уведемо для його позначення атом H. Отже, остаточно висловлення 3) перекладається формулою (ЕG)Н.

Висловлення 4) є складним реченням, дві частини якого («матриця має обернену» та «її визначник не дорівнює нулю») є простими висловленнями, що з’єднані (у речення) за допомогою звороту «тоді й тільки тоді, коли» (аналогом якого є логічна зв’язка ). Уводячи атом К замість простого висловлення «матриця має обернену» та атом L – замість простого висловлення «її визначник не дорівнює нулю», маємо для висловлення 4) формулу КL.