Перевірка сумісності сукупності тверджень методом Девіса й Патнема

Перевіримо суперечність формули (A  B)  (B  C)  (A  C)  (A  C) методом Девіса й Патнема. Для цього спочатку приведемо цю формулу до КНФ. Маємо:

F = (A  B)  (B  C)  (A  C)  (A  C).

Вилучимо входження зв’язки  (за допомогою тотожності F₁F₂= (F₁F₂)(F₂F₁)):

F = (A  B)  (B  A)  (B  C)  (A  C)  (A  C).

Вилучимо усі входження зв’язки  (за допомогою тотожності F₁F₂=F₁F₂):

F = ( A  B)  ((B)  A)  (B  C)  ((A)  C)  (A  C).

Виконаємо спрощення (за допомогою тотожності Ø(F₁) = F₁):

F = ( A  B)  (B  A)  (B  C)  (A  C)  (A  C).

Отже, формула F подана у КНФ. Запишемо F у вигляді множини диз’юнктів:

S = {A  B, B  A, B  C, A  C, A  C }.

У множині S немає тавтологічних диз’юнктів (отже, не застосовне правило тавтології), немає одиничних диз’юнктів (не застосовне правило однолітерних диз’юнктів), немає чистих літер (не застосовне правило чистих літер). Єдиним застосовним до S правилом є правило розщеплення. Застосуємо це правило (вибравши за L літеру А). Маємо:

S₁={B, С, C, B  C}, S₂={B, B  C}.

Перевіримо суперечність множини S₁. Правило тавтології до S₁ не застосовне. Але застосовне правило однолітерних диз’юнктів (S₁ містить одиничний диз’юнкт {В}). В результаті маємо множину S₃={C, С}, до якої застосовне правило однолітерних диз’юнктів (з диз’юнктом {C}). Маємо: S₄={}. Таким чином, множина диз’юнктів S₄ суперечна, отже, й S₁ суперечна.

Тепер перевіримо суперечність множини S₂. Правило тавтології до S₂ не застосовне. Але застосовне правило однолітерних диз’юнктів (S₂ містить одиничний диз’юнкт {В}). В результаті маємо множину S₅={C}, до якої застосовне правило однолітерних диз’юнктів (з диз’юнктом {C}). Маємо: S₆=. Це означає, що множина S₆ несуперечна, отже, й S₂ несуперечна. Але тоді й S несуперечна. А це означає, що формула F не є тотожно хибною, тобто має модель. Але тоді подана сукупність тверджень сумісна.

Перевірка сумісності сукупності тверджень методом резолюцій

Перевіримо суперечність формули

F=(AB)(BC)(AC)(AC)

методом резолюцій. Використаємо подання F у вигляді множини диз’юнктів S:

S = {A  B, B  A, B  C, A  C, A  C }.

Далі для зручності будемо писати диз’юнкти у стовпчик, нумеруючи їх.

1. A  B

2. B  A

3. B  C

4. A  C

5. A  C.

Побудуємо усі резольвенти диз’юнктів 1-5:

6. В  В (резольвента 1 та 2)

7. A  А (резольвента 1 та 2)

8. A  С (резольвента 1 та 3)

9. В  С (резольвента 1 та 4)

10. B С (резольвента 1 та 5)

11. В  A (резольвента 3 та 5)

12. А (резольвента 4 та 5).

Вилучимо тавтологічні диз’юнкти (6 та 7) та ті диз’юнкти, що поглинаються іншими: диз’юнкт 12 поглинає диз’юнкти 2, 4, 5, 11. Отже, залишаються такі диз’юнкти:

1. A  B 9. В  С

3. B  C 10. B С

8. A  С 12. А.

Побудуємо резольвенти цих диз’юнктів (не застосовуючи, звичайно, правило резолюції до пари диз’юнктів 1 та 3).

13. В (резольвента 1 та 12)

14. С (резольвента 3 та 9)

15. С  С (резольвента 3 та 10)

16. В  В (резольвента 3 та 10)

17. A В (резольвента 8 та 10)

18. С (резольвента 8 та 12)

19. В (резольвента 9 та 10).

Вилучимо тавтологічні диз’юнкти (15, 16) та ті диз’юнкти, що поглинаються іншими: диз’юнкт 13 поглинає диз’юнкти 1, 9, 10, 17, 19; диз’юнкт 14 – диз’юнкти 3, 8, 18. Отже, залишаються такі диз’юнкти:

12. А

13. В

14. С.

Правило резолюції не застосовне до жодної пари цих диз’юнктів.

Таким чином, не існує виводу порожнього диз’юнкту з множини диз’юнктів S, отже, множина диз’юнктів S несуперечна, а це означає, що формула F не є тотожно хибною, а подана сукупність тверджень сумісна.