Контрольні питання

1. За якої умови можна стверджувати, що формула F є логічним наслідком формул F₁,…,F_n?

2. Сформулюйте достатні умови того, що формула F є логічним наслідком формул F₁,…,F_n.

3. Сформулюйте необхідні умови того, що формула F є логічним наслідком формул F₁,…,F_n.

Задачі та вправи

І. Задано сукупність формул. Перевірити, чи є у цій сукупності формула, що являється логічним наслідком інших.

1. PQ, PR, QR 2. P(QR), PR, Q

3. PQ, RPRQ 4. P(QR), Q(PR)

5. P(QR), P(PR), PQ 6. PQ, PR, P(QR)

7. (PQ), (QP) 8. PQ, QP

9. PRQS, PQ, RS 10. P(QR), PQR.

ІІ. Довести п.2 теореми 1.

Методи перевірки тотожної хибнОсті й тОтожної істинНості формул логіки висловлень

Різноманітні задачі у математиці та у інших галузях можуть бути сформульовані як задачі встановлення того, чи випливає деяке твердження з заданої сукупності інших тверджень, тобто як задачі перевірки правильності міркування. Якщо твердження у міркуванні є висловленнями, то задачу перевірки правильності такого міркування можна звести до задачі перевірки логічного слідування формули логіки висловлень, що є перекладом твердження-висновку заданого міркування, з формул, що є перекладами висловлень-посилок цього міркування. Теорема 1, що сформульована вище, дає можливість замінити перевірку логічного слідування формули F з формул F₁,…,F_n перевіркою тавтологічності (або суперечності) формули, побудованої з F₁,…,F_n, F спеціальним чином. Для установлення тавтологічності (суперечності) деякої формули P логіки висловлень можна використати таблиці істинності й перевіряти істинносні значення формули P при кожній інтерпретації. Ми розглянемо інші методи перевірки тавтологічності та суперечності, які ґрунтуються на поданні формул у спеціальному вигляді, а саме у вигляді тієї чи іншої нормальної форми. Для подання формули у нормальній формі виконуються перетворення даної формули, які зберігають її істинносне значення при кожній інтерпретації.

Метод перевірки суперечності й тавтологічності формул шляхом зведення до диз’юнктивної та кон’юнктивної нормальної форми

Тавтологічність формули можна перевірити шляхом зведення її до кнф. Наприклад, (PQ)  Q  P = (PQ) Q  P = ((PQ) Q) P = (PQ)QP = (PQ)  Q P = (P Q P) (Q Q P) = 1 1 = 1. Отже, формула (PQ)  Q  P є тавтологією.

Суперечність формули можна довести шляхом перетворення її у днф. Наприклад, (PQ)QP = (PQ)QP = (PQP)(QQP) = 00 = 0. Отже, формула є суперечною.

Контрольні питання

1. До якої нормальної форми (кнф чи днф) треба звести формулу, щоб перевірити, чи є вона тотожно істинною?

2. До якої нормальної форми (кнф чи днф) треба звести формулу, щоб перевірити, чи є вона тотожно хибною?

Метод Девіса й Патнема

Метод Девіса й Патнема дає можливість перевіряти суперечність множини диз’юнктів. Він базується на чотирьох правилах.

1. Правило тавтології. З множини диз’юнктів S вилучити усі тавтологічні диз’юнкти, якщо такі містяться у S. Позначимо множину диз’юнктів, що утворюється у результаті такого вилучення, через S. Якщо S=, то дати відповідь «S несуперечна» та завершити роботу, інакше перевірити суперечність S¢.

Зазначимо, що множина S суперечна тоді й тільки тоді, коли S¢ суперечна. Отже, однократне застосування правила тавтології до множини диз’юнктів S, що містить тавтологічні диз’юнкти, або дає відповідь на питання про суперечність S (якщо S=, то S – несуперечна), або зводить задачу про суперечність S до задачі про суперечність множини диз’юнктів S¢, яка містить менше диз’юнктів, ніж S.

2. Правило однолітерних диз’юнктів. Якщо в S існує одиничний диз’юнкт {L}, то спочатку побудувати множину S, вилучаючи з S ті диз’юнкти, що містять літеру L. Якщо S=, то дати відповідь «множина S несуперечна» й завершити роботу. Якщо S, то побудувати множину S, вилучаючи з диз’юнктів множини S усі входження літери L. Якщо S² містить порожній диз’юнкт, то дати відповідь «множина S суперечна» та завершити роботу, інакше перевірити суперечність S.

Зазначимо, що множина S суперечна тоді й тільки тоді, коли S суперечна. Таким чином, однократне застосування правила однолітерних диз’юнктів до множини диз’юнктів, що містить одиничний диз’юнкт, або дає відповідь на питання про суперечність S (якщо S=, то S – несуперечна, якщо S², то S суперечна), або зводить задачу про суперечність S до задачі про суперечність множини диз’юнктів S², яка містить менше диз’юнктів, ніж S.

3. Правило чистих літер. Назвемо літеру L, що входить у деякий диз’юнкт з S, чистою в S, якщо літера L не входить в жоден диз’юнкт з S. Якщо S містить літеру L, чисту в S, вилучити з S усі диз’юнкти, що містять L. Позначимо через S множину диз’юнктів, що залишилися. Якщо S=, то дати відповідь «S несуперечна» й завершити роботу, інакше перевірити суперечність S¢.

Зазначимо, що S суперечна тоді й тільки тоді, коли S¢ суперечна. Отже, однократне застосування правила чистих літер до множини диз’юнктів S, що містить чисту літеру, або дає відповідь на питання про суперечність S (якщо S=, то S несуперечна), або зводить задачу про суперечність S до задачі про суперечність множини диз’юнктів S¢, яка містить менше диз’юнктів, ніж S.

4. Правило розщеплення. Вибрати літеру L, що має входження у який-небудь диз’юнкт з S. Подати множину S у вигляді (A₁ L)…(A_mL)(B₁L)…(B_nL)R, де m,nN⁺, A_i (i{1,…,m}), B_j (j  {1,…,n}), R не містять літер L та L. Побудувати множини S₁ = A₁…A_mR та S₂ = B₁…B_nR. Перевірити суперечність S₁ та S₂.

Зазначимо, що S суперечна тоді й тільки тоді, коли S₁ й S₂ суперечні. Застосування правила розщеплення дає можливість звести задачу про суперечність множини диз’юнктів S до сукупності двох задач (про суперечність S₁ та про суперечність S₂), кожна з яких простіша, ніж задача про суперечність S.

Метод Девіса й Патнема перевірки суперечності множини диз’юнктів S полягає у рекурсивному застосуванні до S правил 1-4 у зазначеному порядку.

Розглянемо приклад. Перевіримо за допомогою методу Девіса й Патнема суперечність множини S = {PQR, PQ, P, R, T. За правилом 2 (з диз’юнктом P) маємо множину S₁ = {QR, Q, R, T}. За правилом 2 (з диз’юнктом R) маємо множину S₂ = {Q, Q, T}. За правилом 2 (з диз’юнктом Q) маємо множину S₃ = {, T}, яка є суперечною, оскільки містить порожній диз’юнкт. Отже, початкова множина диз’юнктів S суперечна.