Контрольні питання

1. Що таке розгалуження?

2. Що таке перевірний вираз?

3. Що таке нормальна форма розгалуження?

4. Які формули логіки висловлень можна подати у нормальній формі розгалуження?

5. Як подати логічні зв’язки , , , ,  за допомогою оператору розгалуження й логічних констант 0 та 1?

6. Що таке двійкова діаграма рішень?

7. Яка двійкова діаграма рішень називаєтья: а) упорядкованою, б) приведеною?

8. Як побудувати формулу у нфр за ПУДДР?

9. Як визначити за ПУДДР, побудованою за формулою F, чи є F: а) тотожно істинною, б) тотожно хибною?

Задачі та вправи

І. Перевірити суперечність поданих формул: а) шляхом побудови днф, б) методом Девіса й Патнема, в) методом резолюцій, д) шляхом побудови ПУДДР.

1. (PQ)QP 2. (PQ)(PQ)(RQ)(RQ)

3. (PQ)Q(PQR) 4. (PQR)(PQ)PRT

5. PQRS(PQRS) 6. (PQ)(PQ)(QR)(QR)

7. (PQ)(RQ)RQ 8. (PQ)(PQ)(RQ)(RQ)

9. (ABCD)(DEG)(AG)

10. (PQ)(QR)(RS)(RP)(SQ)(QR)

11. (A(BC))(DEG)(G(HI))(CEH)

12. (AB)(CD)(BD)(CA)(EG)(GD)(EE)

13. (ABC)(DBE)((GA)HI)((HI)GD)(CE).

ІІ. Побудувати приклади суперечних множин диз’юнктів, для яких не існує вхідних виведень порожнього диз’юнкту.

IIІ. Знайти усі моделі формули F шляхом побудови: а) днф, б) ПУДДР.

1. (С(А(ВС)))(ВС) 2. (A(BC))(CA)

3. (А(ВС)В) 4. (А(В(СА)))

5. С(((АВ)С)) 6. А(С(ВА))

7. (С(А(ВС)))А 8. (А(ВС))(АС)

9. (АВ)((СА)В) 10. (В(А(СА)))А.

IV. Нехай F – формула логіки висловлень. Як, використавши метод Девіса й Патнема, дізнатися, чи є F тавтологією? Чи можна встановити тавтологічниість формули F за допомогою методу резолюцій?

V. Чи однаковими є ПУДДР, побудовані за формулою (А1В1)(А2В2) з використанням різних лінійних порядків на множині атомів (A1<B1<A2<B2 та А1<А2<В1<В2 відповідно)?

VI. Нехай S – множина диз’юнктів, до якої застосовне правило тавтології методу Девіса й Патнема, й S1 – результат застосування цього правила до S. Довести, що S суперечна  S1 суперечна.

VII. Нехай S – множина диз’юнктів, до якої застосовне правило розщеплення методу Девіса й Патнема, й S1 та S2 – результат застосування цього правила до S. Довести, що S суперечна  S1 та S2 суперечні.

VIII. Нехай S – множина диз’юнктів, до якої застосовне правило чистих літер методу Девіса й Патнема, й S1 – результат застосування цього правила до S. Довести, що S суперечна  S1 суперечна.

IX. Нехай S – множина диз’юнктів, до якої застосовне правило однолітер-них диз’юнктів методу Девіса й Патнема, й S1 – результат застосування цього правила до S. Довести, що S суперечна  S1 суперечна.

Х. Нехай існує доведення несуперечності формули F методом Девіса й Патнема. Сформулюйте правило побудови моделі F за цим доведенням.

Приклади перевірки логічної правильності міркування

Розглянемо приклади використання описаних вище методів для перевірки логічної правильності міркування. Нехай задано міркування:

«Ліворуч підеш – коня загубиш, праворуч підеш – загибель знайдеш, прямо підеш – у неволю потрапиш. Але йти можна або ліворуч, або праворуч, або прямо. Отже можна або загинути, або коня загубити, або потрапити у неволю.»

Щоб перевірити його правильність формальними методами, треба спочатку звести задачу перевірки правильності міркування, записаного природною мовою, до задачі перевірки логічного слідування для формул. Для цього необхідно перекласти твердження-посилки та твердження-висновок заданого міркування мовою логіки висловлень, тобто подати їх як формули логіки висловлень. Щоб здійснити переклад, проаналізуємо твердження у заданому міркуванні й виділимо у кожному з них прості висловлення. Для кожного простого висловлення уведемо коротке позначення – атом. Наприклад, розглянемо перше твердження нашого міркування: «Ліворуч підеш – коня загубиш, праворуч підеш – загибель знайдеш, прямо підеш – у неволю потрапиш». З метою виділення у ньому простих висловлень розглянемо його як речення й виконаємо його розбір. Це речення – складносурядне, отже, можна розбити його на більш короткі речення:

Ліворуч підеш – коня загубиш.

Праворуч підеш – загибель знайдеш.

Прямо підеш – у неволю потрапиш.

Тепер можна продовжувати аналіз, розглядаючи кожне з побудованих речень окремо. Оскільки наші речення є висловленнями, ми можемо допустити їх переформулювання до такої міри, щоб суть висловлення не змінювалася. Отже, замість, скажімо, висловлення «Ліворуч підеш – коня загубиш» можемо розглядати висловлення «Якщо ліворуч підеш, то коня загубиш» Це речення – складнопідрядне, його складові – речення «ліворуч підеш» та «коня загубиш» – є простими висловленнями, що з’єднуються за допомогою звороту «якщо …, то». Уведемо атоми, що позначатимуть щойно виділені прості висловлення. Маємо:

А – ліворуч підеш,

B – коня загубиш.

Пам’ятаючи про те, що аналогом «якщо …, то» служить у мові логіки висловлень зв’язка , будуємо переклад твердження «Ліворуч підеш – коня загубиш» («Якщо ліворуч підеш, то коня загубиш») мовою логіки висловлень: АВ. Продовжуючи переклад решти тверджень нашого міркування, уводимо нові атоми для простих висловлень:

C – праворуч підеш,

D – загибель знайдеш,

G – прямо підеш,

H – у неволю потрапиш.

Використовуючи уведені символи та логічні зв’язки, побудуємо для кожного речення заданого міркування формулу логіки висловлень. При цьому враховуємо те, що логічна зв’язка  є аналогом частки «не», зв’язка  – аналогом сполучника «та», зв’язка  – аналогом сполучника «або», зв’язка  – аналогом звороту «якщо…, то…». Зрештою маємо такі формули:

AB, CD, GH, ACG, BDH.

Остання формула є перекладом твердження-висновку, а інші – перекладами тверджень-посилок заданого міркування. Отже, початкова задача (перевірки правильності заданого міркування) зводиться до перевірки того, чи є формула BDH логічним наслідком формул AB, CD, GH, ACG. Таким чином, замість початкової задачі (щодо тверджень) маємо таку задачу щодо формул логіки висловлень:

Чи виконується AB, CD, GH, ACG ╞═ BDH? (2)

Здійснивши зведення початкової задачі перевірки правильності міркування до задачі перевірки логічного слідування (2), можемо застосовувати викладені вище формальні методи для розв’язання задачі (2). Зазначимо, що метод Девіса й Патнема, метод резолюцій та метод ДДР застосовні для розв’язання задач великого обсягу, застосовність решти методів, що розглядаються, обмежене.