Контрольні питання

1. Які формули називаються рівносильними?

2. Що таке літера?

3. Що таке диз’юнкт? r-літерний диз’юнкт? одиничний диз’юнкт? порожній диз’юнкт?

4. Що таке контрарні літери?

5. Що таке тавтологічний диз’юнкт?

6. Що таке кон’юнкт?

7. Що таке кнф? днф?

8. Які формули логіки висловлень можна подати у кнф? у днф?

9. Які тотожності використовуються при побудові кнф (днф) формули?

10. Що таке суперечна множина диз’юнктів?

Задачі та вправи

I. Подати формули у днф та кнф.

1. (PQ)R 2. P((QR)S)

3. (PQ)(ST) 4. (PQ)R

5. (PQ)(PQ) 6. P(PQR)

7. (PQ)(PQ) 8. (PQ)

9. (PQ)R 10. (PQ)(PQ)

11. ((PQ)P)P 12. P(Q(PQ))

13. (PQ)(P(QP)) 14. (P(QS))((PQ)(QS))

15. SP(PS) 16. QS(PS)

17. RS(PQS) 18. (PQ)R(SP)

19. (PQ)PQ 20. (PQR)(PQR).

II. Довести тотожності 1-12.

ІІІ. Перевірити кожну з поданих рівностей шляхом перетворення обох її частин у одну й ту саму нормальну форму.

1. (PQ)(PR) = (P(QR))

2. (PQ)(PQ) = (PQ)(QP)

3. PQ(PQ) = PQ(PQ)

4. P(P(PQ)) = PQ(PQ)

5. (PQ)R = P(QR)

Логічне слідування

Ми бачили, що висловлення можна подавати за допомогою формул логіки висловлень. Часто нас цікавлять не окремі висловлення, а послідовності висловлень, що утворюють міркування, тобто такі послідовності тверджень, у яких останнє твердження є висновком з попередніх тверджень. Наведемо приклад міркування.

Якщо йде дощ, то люди користуються парасольками.

Іде дощ.

Отже, люди користуються парасольками.

Сукупність наведених трьох тверджень утворює міркування, у якому перші два твердження являються посилками, а останнє – висновком. Зазвичай твердження-висновок виділяється у міркуванні за допомогою слова «отже» (а також слів «таким чином», «з цього випливає» і т.п.).

Щоб утворювати послідовності формул логіки висловлень, що є аналогами міркувань, уведемо поняття логічного слідування формули з сукупності формул.

Формула F називається логічним наслідком формул F₁,…,F_n (позначається F₁,…,F_n╞═F), якщо при кожній інтерпретації, при якій усі формули F₁,…,F_n істинні, формула F також істинна. Говорять, що формули F₁,…,F_n є посилками F, а формула F випливає з F₁,…,F_n, або має місце логічне слідування формули F з формул F₁,…, F_n.

З попереднього означення випливає, що формула F є логічним наслідком формул F₁,…,F_n тоді й тільки тоді, коли кожна модель формул F₁,…,F_n є моделлю формули F.

Наведемо приклади логічного слідування.

1. Формула PQ є логічним наслідком формул P та Q. Дійсно, існує модель {P,Q} формул Р та Q, причому єдина. При інтерпретації {P,Q} формула PQ приймає істинносне значення 1. Отже, кожна модель формул P та Q є моделлю формули PÚQ, а це означає, що PÚQ є логічним наслідком P та Q.

2. Формула PQ не є логічним наслідком формул Q та PQ, оскільки існує інтерпретація {P, Q}, при якій і Q, й PQ істинні, а PQ хибна.

Ми можемо використовувати логічне слідування для подання міркування. Застосовуючи означення поняття логічного слідування ми також можемо перевіряти правильність міркування. Розглянемо приклад. Чи є логічно правильним таке міркування?

Дощ іде або спекотно. Якщо дощ не йде, то спекотно.

Якщо дощ іде, то не спекотно. Отже, якщо спекотно, то дощ не йде.

Можна сформулювати задачу інакше: чи випливає твердження «Якщо спекотно, то дощ не йде» з тверджень: «Дощ іде або спекотно», «Якщо дощ не йде, то спекотно», «Якщо дощ іде, то не спекотно»?

Щоб відповісти на це запитання, спочатку запишемо дані твердження як формули логіки висловлень. Нехай D означає «Дощ іде», а S означає «спекотно». Тоді початкова задача зводиться до перевірки того, чи є формула SD логічним наслідком формул DS, DS, DS. Оскільки, як неважко перевірити, формула SD істинна при тих інтерпретаціях, при яких істинні формули DS, DS, DS, то SD є логічним наслідком цих формул. Отже, твердження «Якщо спекотно, то дощ не йде» випливає з поданих тверджень.

Поняття логічного слідування, суперечності та тавтологічності пов’язані між собою. Цей зв’язок визначає така теорема.

Теорема 1. Нехай F₁, F₂, …, F_n, F – формули.

1) F₁,F₂…,F_n╞═ F тоді й тільки тоді, коли формула F₁F₂…F_nF є тотожно істинною (тавтологією).

2) F₁,F₂,…,F_n╞═ F тоді й тільки тоді, коли формула F₁F₂…F_nF тотожно хибна (суперечна).

Доведемо перше з поданих тверджень. Покажемо спочатку, що якщо F₁,F₂…,F_n╞═ F, то формула F₁F₂…F_nF є тотожно істинною. Нехай h – деяка інтерпретація формули F₁F₂…F_nF. Можливі два випадки: 1) h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n)=1, 2) h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n)=0.

Розглянемо перший випадок. З того, що h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n)=1, випливає, що h(F₁)=h(F₂)=…=h(F_n)=1, тобто інтерпретація h є моделлю формул F₁,F₂,…,F_n. Оскільки виконується F₁,F₂…,F_n╞═ F, то h є також моделлю формули F, тобто h(F)=1. Тоді h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n®F)=h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n)®h(F) =1®1=1, отже, формула F₁ÙF₂Ù…ÙF_n®F істинна при інтерпретації h.

У другому випадку маємо:

h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n®F) = h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n)®h(F) = 0®h(F)=1

незалежно від значення виразу h(F), тобто формула F₁ÙF₂Ù…ÙF_n®F приймає значення 1 при інтерпретації h.

Таким чином, за умови F₁,F₂…,F_n╞═ F формула F₁ÙF₂Ù…ÙF_n®F приймає значення 1 при кожній інтерпретації.

Тепер покажемо, що якщо формула F₁ÙF₂Ù…ÙF_n®F тотожно істинна, то F₁,F₂…,F_n╞═ F. Нехай h – модель формул F₁,F₂…,F_n. Тоді h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n) = 1. Оскільки F₁ÙF₂Ù…ÙF_n®F тотожно істинна, то h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n®F) =1. Але h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n®F) = h(F₁ÙF₂Ù…ÙF_n)®h(F) = 1®h(F) = 1, звідки випливає, що h(F)=1. Отже, кожна модель формул F₁,F₂…,F_n є моделлю формули F, тобто, F₁,F₂…,F_n╞═ F. Твердження доведено.