Перевірка правильності міркування шляхом побудови диз’юнктивної нормальної форми або кон’юнктивної нормальної форми

Розв’яжемо задачу (2) (див. стор. 38) шляхом побудови нормальної форми (днф або кнф).

За відомим твердженням (теорема 1, п.2) формула BDH є логічним наслідком формул AB, CD, GH, ACG, якщо формула F = (AB)(CD)(GH)(ACG)(BÚDÚH) є суперечністю.

Для перевірки суперечності F необхідно звести дану формулу до ДНФ, застосовуючи співвідношення 1-12 з розділу «Еквівалентні формули логіки висловлень. Нормальні форми».

Спочатку використаємо кілька разів співвідношення F₁ F₂ = F₁  F₂, щоб вилучити усі входження імплікації (). Маємо:

F = (AB)(CD)(GH)(ACG)(BÚDÚH).

Зменшуємо область дії зв’язки заперечення, де це потрібно, використовуючи співвідношення (F₁  F₂) = F₁  F₂. Маємо:

F = (AB)(CD)(GH)(ACG)(BDH).

Застосуємо закони комутативності та асоціативності :

F = ((BDH)(AB))(CD)(GH)(ACG).

Далі застосуємо закон F₁  (F₂  F₃) = (F₁  F₂)  (F₁  F₃), де F₁= (BDH), F₂=A, F₃= B:

F = ((BDHA)(BDHB))(CD)(GH)(ACG).

Виконаємо спрощення підформули BDHB, використавши закони комутативності та асоціативності  й співвідношення F₁F₁=0, 0F₁=0:

BDHB=(BB)(DH)=0Ù(ØDÙØH)=0.

Маємо:

F = ((BDHA)0)(CD)(GH)(ACG).

Виконаємо спрощення F за допомогою закону комутативності  та співвідношення 0  F₁ =F₁:

F = (BDHA)(CD)(GH)(ACG).

Застосуємо закон F₁  (F₂  F₃) = (F₁  F₂)  (F₁  F₃), де F₁=BDHA, F₂=С, F₃=D:

F = ((BDHAC)(BDHAD))(GH)(ACG).

Застосовуємо закони комутативності та асоціативності до підформули BDHAD та спрощуємо її за допомогою співвідношень F₁F₁=0, 0F₁=0:

BDHAD=(DD)(BHA)=0(BHA)=0.

Маємо:

F = ((BDHAC)0)(GH)(ACG).

Виконаємо спрощення F за допомогою закону комутативності Ú та співвідношення 0  F₁ =F₁:

F = (BDHAC)(GH)(ACG).

Застосуємо закон асоціативності :

F = ((BDHAC)(GH))(ACG).

Далі можна застосувати співвідношення F₁  (F₂  F₃) = (F₁  F₂)  (F₁  F₃), де F₁=(BDHAC), F₂=G, F₃= H:

F=((BDHACG)(BDHACH))(ACG).

Після перетворення за законами комутативності та асоціативності й спрощення підформули BDHACH за співвідношеннями F₁F₁=0, 0F₁=0 та подальшого спрощення формули F за тотожністю 0  F₁ =F₁ маємо:

F = (BDHACG)(ACG).

Повторюючи послідовно застосовувати закони асоціативності, дистрибутивності, комутативності та виконуючи спрощення, маємо:

F = (BDHACG)(ACG) = (BDHACG)(A(CG)) =

(BDHACGA)((BDHACG)(CG)) = ((BDHGC(AA)))((BDHACG)(CG)) = (BDHGC0)  ((BDHACG)(CG)) =

0((BDHACG)(CG)) = (BDHACG)(CG) =

(BDHACGC)(BDHACGG) = ((CC)BDHAG)((GG)BDHAC) = (0BDHAG)(0BDHAC) = 00 = 0.

Отже, маємо, що днф формули F є 0, тобто F тотожно хибна формула.

Суперечність формули F доведено. Отже, можна сказати, що формула BDH є логічним наслідком формул AB, CD, GH, ACG. Таким чином, задане міркування є логічно правильним.

Для розв’язання задачі (2) ми використали п.2 теореми 1 та днф, але ту саму задачу можна розв’язати, застосувавши п.1 теореми 1. Як випливає з п.1 теореми 1, формула BDH є логічним наслідком формул AB, CD, GH, ACG, якщо формула

F = (AB)(CD)(GH)(ACG)(BÚDÚH)

є тавтологією. Для перевірки тавтологічності F необхідно звести дану формулу до КНФ, застосовуючи співвідношення 1-12 з розділу «Еквівалентні формули логіки висловлень. Нормальні форми». Наведемо послідовність перетворень формули F:

F = (AB)(CD)(GH)(ACG)(BÚDÚH) =

(AB)(CD)(GH)(ACG)(BÚDÚH) =

Ø((AB)(CD)(GH)(ACG)) Ú (BÚDÚH) =

Ø(AB) Ú Ø(CD) Ú Ø(GH) Ú Ø(ACG) Ú (BÚDÚH) =

((ØA)ØB)Ú((ØC)ØD) Ú ((ØG)ÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) Ú (BÚDÚH) =

(AØB)Ú (CØD) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) Ú (BÚDÚH) =

((BÚDÚH) Ú (AØB)) Ú (CØD) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚA)(BÚDÚHÚØB)) Ú (CØD) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚA)((BÚØB)Ú(DÚH))) Ú (CØD) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚA)(1Ú(DÚH))) Ú (CØD) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

(1(BÚDÚHÚA)) Ú (CØD) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

(BÚDÚHÚA) Ú (CØD) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚA) Ú (CØD)) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚAÚC)(BÚDÚHÚAÚØD)) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚAÚC)((DÚØD)Ú(HÚAÚB))) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚAÚC)(1Ú(HÚAÚB))) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

(1(BÚDÚHÚAÚC)) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

(BÚDÚHÚAÚC) Ú (GÙØH) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚAÚC) Ú (GÙØH)) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚAÚCÚG)Ù(BÚDÚHÚAÚCÚØH)) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚAÚCÚG)Ù((HÚØH)Ú(BÚDÚAÚC))) Ú (ØAÙØCÙØG) =

((BÚDÚHÚAÚCÚG)Ù(1Ú(BÚDÚAÚC))) Ú (ØAÙØCÙØG) =

(1Ù(BÚDÚHÚAÚCÚG)) Ú (ØAÙØCÙØG) =

(BÚDÚHÚAÚCÚG) Ú (ØAÙØCÙØG) =

(BÚDÚHÚAÚCÚG) Ú (ØAÙ(ØCÙØG)) =

(BÚDÚHÚAÚCÚGÚØA)Ù((BÚDÚHÚAÚCÚG)Ú(ØCÙØG)) =

(BÚDÚHÚAÚCÚGÚØA)Ù(BÚDÚHÚAÚCÚGÚØC)Ù(BÚDÚHÚAÚCÚGÚØG) =

((AÚØA)Ú(BÚDÚHÚCÚG))Ù((CÚØC)Ú(BÚDÚHÚAÚG))Ù((GÚØG)Ú(BÚDÚHÚAÚC)) = (1Ú(BÚDÚHÚCÚG))Ù(1Ú(BÚDÚHÚAÚG))Ù(1Ú(BÚDÚHÚAÚC)) =

1Ù1Ù1 = 1.

Отже, маємо, що кнф формули F є 1, тобто F тотожно істинна формула.

Тавтологічність формули F доведено. Отже, можна сказати, що формула BDH є логічним наслідком формул AB, CD, GH, ACG. Таким чином, задане міркування є логічно правильним.