DifYr

Таким образом, для отыскания общего решения в области

однородной системы n линейных уравнений первого порядка с n искомыми функциями и непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами достаточно найти n линейно независимых на интервале (a; b) решений системы и взять их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.11.Линейные неоднородные системы. Структура

общего решения

Рассмотрим неоднородную систему n линейных дифференциальных уравнений первого порядка с n неизвестными функциями:

где отображения P : (a; b) -! Mnn(R) и Q : (a; b) -! Mn1 (R) непрерывны на некотором (конечном или бесконечном) интервале (a; b) [подробная запись системы (3.23) – система (3.7)].

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Запишем однородную систему n линейных дифференциальных уравнений первого порядка соответствующую неоднородной системе (3.23):

Выясним структуру общего решения системы (3.23) в

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

– фундаментальная система решений на интер-

k=1

где C1; C2; : : : ; Cn – произвольные постоянные, также будет решением линейной неоднородной системы (3.23) на (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Так как Y~ – решение системы (3.23) на интервале (a; b) и Y1; Y2; : : : ; Yn – решения системы (3.24) на интервале (a; b), то при любых значениях постоянных C1; C2; : : : ; Cn функция (3.25) также является решением системы (3.23) на интервале (a; b):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 14. Общее решение в области

неоднородной системы (3.23) n линейных дифференциальных уравнения первого порядка c непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами P и правой частью Q равно сумме любого решения неоднородной системы (3.23) на интервале (a; b) и общего решения соответствующей однородной системы (3.24) в той же области D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Обозначим через Y1; Y2; : : : ; Yn фундаментальную систему решений на интервале (a; b) однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка

соответствующей системе (3.23). Тогда, в силу теоремы 12, общее решение системы (3.27) в области D запишется в виде:

Y = C1Y1 + C2Y2 + + CnYn;

где C1; C2; : : : ; Cn – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из теоремы 13 следует, что

есть решение системы (3.23) на интервале (a; b) при любых постоянных C1; C2; : : : ; Cn. Покажем по определению 1.13, что

Y = Y~ + C1Y1 + C2Y2 + + CnYn

есть общий интеграл [точнее общее решением] системы (3.23) в области D.

Фиксируем произвольную точку x0 2 (a; b) и

T

Y0 := y10; y20; : : : ; yn0 2 Rn.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим вспомогательную систему из n линейных алгебраических уравнений с неизвестными

или, что то же самое,

Y1 (x0) C1 + Y2 (x0) C2 + + Yn (x0) Cn = Y0 - Y~ (x0) :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit