Пусть ' : (a; b) -! R некоторое решение уравне-
ния (2.7) на интервале (a; b) и x0 2 (a; b) произвольная точка.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Система
'(n-1)(x |
) = F |
1 |
(x |
|
) + C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(n-2)(x |
) = F |
2 |
(x |
|
) + C x |
0 |
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(n-3)(x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = F |
|
(x |
|
) + C |
|
|
0 |
|
+ C x |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
0 |
|
1 2 |
2 |
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
'0(x |
) = F |
|
|
(x |
) + C |
|
|
x0n-2 |
|
|
+ C |
|
x0n-3 |
+ |
|
+ C |
x |
|
+ C |
; |
|
|
1(n - 2)! |
|
|
|
0 |
|
n-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2(n - 3)! |
n-2 |
|
0 |
n-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn-1 |
|
|
|
|
|
xn-2 |
|
|
|
|
|
|
|
'(x0) = Fn(x0) + C1 |
|
|
|
0 |
|
+ C2 |
|
0 |
+ |
+ Cn-1x0 |
+ Cn |
|
(n - 1)! |
|
(n - 2)! |
|
имеет единственное решение, которое обозначим
C1 ; C2 ; C3 ; : : : ; Cn :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так |
как |
два |
решения |
|
' : |
|
(a; b) - |
R и |
|
= |
|
n( ) + C1 |
xn-1 |
+ |
|
2 |
xn-2 |
+ + Cn-1x +!n |
|
|
|
(n - 1)! |
|
(n - 2)! |
|
y |
|
F |
|
x |
|
|
|
C |
|
|
|
C |
|
на интервале (a; b) являются решениями задачи Кош´и для уравнения (2.7) с начальными данными
' (x0) ; '0 (x0) ; : : : ; '(n-1) (x0) ;
то по теореме 2 (Кош´и) они совпадают на интервале (a; b), то есть для всех x 2 (a; b):
'(x) = Fn(x) + C |
xn-1 |
|
+ C |
xn-2 |
+ |
|
+ C |
x + C : |
|
|
1 (n - 1)! |
2 (n - 2)! |
n-1 |
n |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак,
y = Z dx Z |
dx : : : Z f(x) dx |
|
xn-1 |
xn-2 |
+C1 |
|
+ C2 |
|
+ + Cn-1x + Cn: |
(n - 1)! |
(n - 2)! |
| |
|
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
Fn(x)
есть общее решение уравнения
|
y(n) = f(x) |
в области |
(x; y) 2 R2 |
|
x 2 (a; b); y 2 R : |
D = |
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 29. Решить уравнение |
|
y000 = ex: |
(2.10) |
Решить задачу Кош´и для уравнения (2.10) с начальными данными
x0 = 0; y0 = 1; y00 = -1; y000 = 2:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
= ex + C1
Решение. Так как функция f(x) = ex непрерывна на R, то общее решение уравнения (2.10) в плоскости xOy получится путем трехкратного последовательного ин-
тегрирования соотношения y000 = ex:
Z
y00 = ex dx + C1 = ex + C1;
Z
y0 = ex dx + C1x + C2 = ex + C1x + C2;
y = Z ex dx + C1x2 + C2x + C3 = 2
x2
2 + C2x + C3:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, общее решение уравнения (2.10) в плоскости xOy задаётся формулой:
y = ex + C1x2 + C2x + C3; 2
где C1; C2; C3 – произвольные постоянные.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Подставляя в выражения для y; y0; y00 начальные значения, получаем для определения постоянных C1; C2; C3 соотношения:
2 = e0 + C1 = 1 + C1;
-1 = e0 + C1 0 + C2 = 1 + C2;
1 = e0 + C102 + C2 0 + C3 = 1 + C3; 2
из которых находим
C1 = 1; C2 = -2; C3 = 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак,
y = ex + x2 - 2x 2
есть решение задачи Кош´и для уравнения (2.10) с начальными данными
x0 = 0; y0 = 1; y00 = -1; y000 = 2:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
2.4. Уравнения вида F x; y(k); y(k+1); : : : ; y(n) = 0
Уравнения вида |
|
F x; y(k); y(k+1); : : : ; y(n) = 0 |
(2.11) |
допускают понижение порядка на k единиц. |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
