7.4. Задачи с решениями на построение изображений

в) точка А —действительная, точка А' — мнимая; г) точка А мнимая, точка А' — мнимая.

З а д а ч а 14.

Графически найти размер и положение изображения предмета АВ в одной тонкой положительной линзе в воздухе для двух слу­ чаев (рис.7.17).

Решение (способ I, рис.7.18).

Построим изображение точки А на оси способом, изложенным в задаче 13. На рис.7.18 это точка А'. Затем из точки В предмета проведем луч ВС (рис.7.18,а), параллельный оптической оси. По­ сле преломления на линзе этот луч пойдет в точку F ' и на пересе­ чении с перпендикуляром, восстановленным в точке А', получим точку В' — изображение точки В. Аналогичные построения вы­ полним и для мнимого предмета, проведя в пространстве предме­ тов луч СВ (решение приведено на рис.7.18,б).

Решение (способ II, рис.7.19).

Построить изображение предмета АВ можно иначе. Для этого из точки В предмета вне оси (рис.7.19) необходимо провести два луча: луч ВС (рис.7.19,а) или луч СВ (рис.7.19,6) параллельно оп­ тической оси, которые после преломления пройдут через задний

Рис. 7.17. Графическое представление условия задачи 14: а) предмет дей­ ствительный; б) предмет мнимый.

Рис. 7.18. Графическое решение задачи 14 (способ I): а) предмет дейст­ вительный; б) предмет мнимый.

фокус (T . F ) , и лучи ВН — через главные точки Н, Н', которые в тонкой линзе в воздухе совпадают с узловыми точками N, N ' (эти лучи пройдут линзу без преломления). Точка пересечения этих лучей (т.В’) и будет изображением точки В. Затем из точки В 'не­ обходимо опустить перпендикуляр на оптическую ось и получить положение точки А'(рис.7.19).

З а д а ч а 15.

Графически найти в тонкой отрицательной линзе положение и размер изображения предмета АВ для двух случаев (рис.7.20).

Графическое решение задачи 15 двумя способами представле­ но на рис.7.21, рис.7.22.

Решение (способ I, рис.7.21).

Решение (способ II, рис.7.22). З а д а ч а 16.

Графически найти изображение действительной точки А, ле­ жащей на оптической оси, в системе из положительной и отрица­ тельной тонких линз в воздухе (рис.7.23).

в

Рис. 7.27. Графическое представление условия задачи 18.

Рис. 7.29. Графическое решение задачи 18 (способ II).

Рис. 7.30. Графическое представление условия задачи 19.

Рис. 7.31. Графическое решение задачи 19 (способ I).

жение предмета АВ и его действительного изображения А В', а также их размеры (рис.7.33).

Графическое решение задачи 20 представлено на рис.7.34.

Для определения положения кардинальных точек линзы (Н,

Рис. 7.32. Графическое решение задачи 19 (способ II).

В

у

(т.В) с точкой ее изображения (т.В‘). Там, где луч 1 пересечет оп­ тическую ось, получим главные точки (Н'Н). В этом месте нахо­ дится тонкая линза (рис.7.34).

Чтобы найти точку заднего фокуса этой линзы (T . F ) , достаточ­ но провести из точки предмета вне оси (т.В) луч 2 параллельно оптической оси. После линзы он пойдет в точку ее изображения (т.В'). Там, где луч 2' пересечет оптическую ось, и будет точка F'. Так как линза расположена в воздухе, то —/ = / ' .

З а д а ч а 21.

Графически найти положение линзы в воздухе, ее точки фоку­

Рис. 7.36. Графическое представление условия (а) и решения (б) задачи

тической оси на высо­ те мнимого предмета АВ (рис.7.36, б). В пространстве изображе­ ний луч Г пройдет через точку В', т. е. через точку изображения точки В. Продолжая луч Г в пространстве изображений (пунк­ тирная линия), найдем точку пересечения луча Г с оптической осью (T . F ' — задний фокус) отрицательной линзы. Так как линза расположена в воздухе, то — / = / ’.

З а д а ч а 23.

Графически найти величину фокусного расстояния и радиус кривизны сферического зеркала, если известно положение точки предмета (т.В) и ее изображения (т.В1) — рис.7.37.

Решение.

В пространстве предметов через точку В и ее изображение (т.В’) проведем луч 1 (рис.7.38). Найдем точку пересечения луча 1 с оптической осью — точку С — центр кривизны сферического зеркала. Из точки В опустим перпендикуляр на оптическую ось (АВ) и на его продолжении отложим отрезок АВ ", равный отрезку АВ.

Через точки В" и В' проведем луч 2'. В точке О пересечения

луча 2' с оптической осью восстановим перпендикуляр и по­ лучим положение главной плоскости (Н’) сферического зер­ кала. В пространстве предметов проведем из точки В луч 3 парал­

от сферического зер­ кала, замененного главной плоскостью ( Н ), луч 3’ должен пройти

через точку В'. Найдем пересечение отраженного луча З 'с опти­ ческой осью, точку F', а расстояние от точки Н ' д о точки F ' и есть фокусное расстояние выпуклого зеркала, равное г/2.

З а д а ч а 24.

Графически найти фокусное расстояние системы, эквивалент­ ной действию двух тонких линз в воздухе, если/ ’, =100 мм, f ' 2 =

— 50 мм, d = 80 мм. Такую схему имеет телеобъектив, позволяю­ щий при большом эквивалентном фокусном расстоянии иметь небольшую оптическую длину L, что позволяет сократить габари­ ты оптической системы объектива.

Решение.

Известно, что точка, сопряженная с задним фокусом линзы, находится в бесконечности, поэтому, если в пространстве пред­ метов провести луч ВМ, (рис. 7.39), параллельный оптической оси, то после прохождения системы из двух тонких линз он пере­ сечет оптическую ось в пространстве изображений в точке, яв­ ляющейся задним фокусом эквивалентной системы (т./г'экв). Точ­ ка пересечения падающего луча ВМ, с вышедшим из системы лу­ чом F 3KBM2 (T .Q’3KE) располагается в задней главной плоскости эк­ вивалентной системы. Опустим перпендикуляр из точки Q'3KBна оптическую ось и найдем заднюю главную точку эквивалентной системы (т./Гэкв). Расстояние от точки Н'жадо точки Р'экв есть фо­ кусное расстояние всего телеобъектива из двух линз (рис.7.39). Его оптическая длина L — расстояние от первой линзы до точки F'Mi меньше фокусного расстояния fo6' телеобъектива. Отношение длины L к фокусному расстоянию /оЬ' объектива называется ко­ эффициентом телесокращения ш:

m = L//*■

Рис. 7.39. Графическое определение эквивалентного фокусного расстоя­ ния телеобъектива.

= 66 мм (рис.7.40).

Решение.

Для определения положения переднего эквивалентного фокуса необходимо построить луч из бесконечности в обратном ходе и найти точку пересечения" этого луча с оптической осью после вы­ хода из системы. Для построения хода луча повернем исходную систему на 180° (рис.7.41) и выполним построение. Точка F'.Mесть задний фокус перевернутой на 180° системы. Она соответствует точке исходной системы в прямом ходе лучей и является пе­ редним фокусом эквивалентной системы, а Д . = -/* , в прямом ходе и есть переднее фокусное расстояние эквивалентной сис­ темы.

З а д а ч а 26.

Построить изображение мнимого предмета АВ = у = 10 мм в системе из двух тонких линз в воздухе, е с л и / = -45 м м , / = 20 мм, d = 50 мм (рис.7.42).

Рис. 7.42. Графическое представление условия задачи 26.

Решение (см. рис. 7.43). З а д а ч а 27.

Перед двухлинзовой оптической системой из тонких линз в воздухе на расстоянии я,= —170 мм от первой линзы c/J' = 50 мм расположен предмет АВ = у = 30 мм. Вторая линза с фокусным расстоянием / 2 = 60 мм расположена на расстоянии d = 25 мм от первой линзы (рис.7.44).

Требуется определить положение а ’2 и величину у' изображе­ ния предмета после второй линзы.

Задачу решить двумя способами: по формуле Гаусса;

по формулам произвольных тангенсов. Решение (по формуле Гаусса)(рис.7.45).

По условию задачи а, = —170 мм, найдем отрезки а\, а 2, аг и увеличение оптической системы (3 = р, • р,, тогда величина изо-

Рис. 7.43. Графическое решение задачи 26.

Рис. 7.44. Графическое представление условия задачи 27.

в

н! Н{Н2 щ Т Т Fi

Рис. 7.46. Графическое решение задачи 27.

бражения у ’ = А 2В 2 = у • р. Координаты луча, идущего из точки А на оси, показаны на рис.7.45. Если а{ = —170, то

а2 = а\ - d = 70,8 - 25 = 45,8. Найдем

Определим линейное увеличение:

первой линзы р, = й’,/а, = 70,8/(-170) = -0,42; второй линзы р2 = а'2/а г = 26/45,8 = 0,57; всей системы (3 = -0,24.

З а д а ч а 28.

Для тонкой линзы, расположенной в воздухе, найти положе­ ние предмета АВ = у = 10 мм, если размер изображения А’В’ = у' ——20 мм, а отрезок z' —80 мм.

Решение (рис. 7.47).

Найдем линейное увеличение линзы Р = у / У = -20/10 = -2 .

Так как р = ~ z / f то ее фокусное расстояние

Положение предмета относительно линзы согласно рис.7.47 а = z + J= —20 —40 = -60 (мм),

тогда положение изображения *' = / ’ + z'= 40 + 80 = 120 (мм).

Для контроля вычислим р = а/а = 120/(-60)= -2. З а д а ч а 29.

Определить фокусное-расстояние положительной тонкой лин­ зы в воздухе, если z — -400 мм, а положение изображения а' - 100 мм. Найти также линейное, угловое и продольное увеличения (рис.7.48).

Решение.

Расстояние от линзы до предмета а = z + / Так как по усло­ вию задачи — / = / ' , то а = z —f и формула Гаусса будет иметь вид:

После преобразования последнего выражения получим квад­ ратное уравнение относительно / ':

f ' 2 - z f ' + a ' z = 0.

Из решения уравнения находим, что

Г = ± = - 200 ± 282,84.

Так как по условию задачи линза положительная, т о /' = 82,8 мм. Расстояние от точки F ' заднего фокуса до изображения опре­

делим по формуле Ньютона:

Z - -Г Vz = -82,82/(-400) = 17,2.

Правильность вычислений можно проверить графически и по формулам:

a ’ = f + z ’= 82,8 + 17,2= 100; z = - f ’2/z! = -82,82/17,2 « -400.

Расстояние от линзы до предмета

а = z + f = -400 + (-82,84) = -482,84.

Найдем угловое у и продольное а увеличения. Для линзы в

Определить фокусное расстояние тонкой линзы в воздухе, ес­ ли расстояние между предметом и изображением L = 400 мм, а линейное увеличение р = -0,5 (рис.7.49).

Решение.

Выведем формулы, которые связывают координаты а, а' с ве­ личинами L и р. Из рис.7.49 можно записать: L = — а + а'.

Известно также, что линейное увеличение оптической систе­ мы в воздухе р = а'/а, тогда а' - а р. Поэтому

L = — а + а р = — а(\ — р), откуда

Используя формулу Гаусса, найдем фокусное расстояние

Определить размер изображения у\ даваемого тонкой линзой в воздухе, если величина предмета у = 20 мм, z = -4z\ - / = / ’ = 120 мм.

Решение.

По формуле Ньютона запишем: zz —- / ' 2 = -(120)2 = -14 400. По условию задачи: z —-4z\ тогда zz —-4z '1 = -14 400 и

z —±60 мм.

Из расчетов видно, что задача имеет два решения. 1. z'= 60 мм (рис.7.50).

Если z ' = 60 мм, то z —- f ' 2/ z ' = (-120)2/60= -240 (мм). Линейное увеличение р = у'/у= -f/z = -z'/f —-0,5

и величина изображения у' = ур = 20(-0,5)= -10 (мм). 2. z —-60 мм (рис.7.51).