2.5. Основные формулы для сопряженных точек и отрезков

Выражение (2.4) называется формулой Ньютона. При —/ = / ' формула (2.4) примет вид: zz= —f ' 2-

В соответствии с рис.2.37 z —a—f, z' = a' —f , и тогда, подста­ вив значения г и г ' в формулу (2.4), имеем (а —f)(d —f ) = JT■

После преобразований получим:

f /а' + f/a =1 или, если —/ = / ' , то можно записать формулу в

Формула (2.5) — формула Гаусса или формула в отрезках вдоль

Умножив правую и левую часть равенства (2.5) на высоту А h /а ’ — h /а = h / f ’и учитывая, что tga = h/a\ tga= h/a,

получим формулу произвольных тангенсов (или формулу Гаусса в углах) для определения угловых координат преломленного луча

Если оптическая система состоит из двух и более тонких линз (тонких компонентов), расположенных в воздухе на некоторых расстояниях dh d2... друг от друга, то, записывая последовательно формулу Гаусса (2.5), или формулу Ньютона (2.4), или формулу (2.7) произвольных тангенсов, можно всегда получить линейные или угловые координаты преломленных лучей.

Найдем по приведенным выше формулам положение изо­ бражения (отрезок а'2) в оптической системе (рис.2.38), со­ стоящей из двух тонких линз (компонентов) в воздухе с фо­

Рис. 2.38. Построение изображения предмета A,Bt в системе из двух ком­ понентов.

ем. Результаты графических построений и вычислений должны совпадать.

Решим задачу с применением формулы Гаусса (2.5).

Запишем формулу Гаусса (2.5) для первого компонента (линзы):

l/iV - 1 /а х= \//'.

Найдем положение изображения точки А, (т.Л',) после первой линзы — отрезок а\

а.' = a j;• / (а, +/;•) = (-70)50/(-70 + 50) = 175 мм.

На расстоянии d = 90 мм расположен второй компонент с f 2 = 30 мм. Чтобы найти положение изображения точки А, через вто­ рой компонент (т.А'2), необходимо найти положение предмета (т.А2) для второго компонента. Так как точка А', — изображение точки А, через первый компонент, то точка А', является предме­ том для второго компонента и, в соответствии с рис.2.38, можно записать:

а2 = д/ —d = 175 —90 = 85 мм.

Тогда, используя формулу Гаусса для второй линзы, найдем:

02' = а/2 / («2 + / 2) = 85 • 30/ (30 + 85) = 22,17 мм,

т. е. изображение предмета находится на расстоянии а2 = 22,2 мм от второго компонента.

Решим задачу, используя формулу (2.7) произвольных танген­ сов, последовательно применяя ее для каждой тонкой линзы (рис.2.39) и формулу перехода для высот.

Для простоты расчетов символ tg в формуле (2.7) можно опус­ тить и угол а задавать не в градусах, а в отвлеченных единицах. Это намного упрощает расчет, а результат получаем тот же, как и при вычислении через tga, задавая угол в градусах.

Пусть <Х| = —1, тогда в соответствии с рис.2.39

И, = 0,0, = (—70)(—1) = 70.

Запишем формулу произвольных тангенсов для 1-го компо­ нента:

a', — а, = h,/f \ тогда

0.2 = a',= а,+ h,/fi= (-D +70/50 =0,4.

Из заштрихованного на рис.2.39 треугольника найдем

h2 = k , - da2= 70 - 90- (0,4) = 34