7. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ

дем дуги радиусами ОЕ и 0D. Через точку D проведем прямую, параллельную нормали NN к поверхности РР в точке О, и найдем точку С пересечения этой вспомогательной прямой с дугой, про­ ходящей через точку Е. Через точку С и точку О проведем пря­ мую СО, которая и определит направление преломленного луча ОА Угол е' < е.

Докажем, что при таком построении соблюдается закон пре­

т. е. соблюдается закон преломления («sine = л 'sins).

Если луч АО идет из более плотной среды (стекло с п =1,5) в менее плотную (воздух с п’ — 1), т. е. когда п > п (рис.7.1, б), то построение преломленного луча выполняется следующим обра­ зом: на луче АО надо отложить отрезок ОЕ = 30 мм, пропорцио­ нальный значению п, и отрезок OD = 20 мм, пропорциональный значению п\ Из точки О падения луча проводят две дуги радиуса­ ми ОЕ = 30 мм, OD = 20 мм. Так как луч идет из более плотной среды, то вспомогательную прямую (пунктирная линия), парал­ лельную нормали NN, проводят из точки Е до пересечения с ду­ гой радиуса OD (т. С). Прямая, проведенная через точку С и точку О дает направление преломленного луча ОА'. В этом случае е > е (рис.7.1, б).

7.1.2. Построение хода луча через сферическую преломляющую поверхность

Построение хода произвольного луча АВ после преломления на сферической поверхности РР выполняется аналогичным обра­ зом, что и в рассмотренных раньше случаях. При этом следует помнить, что нормалью к сферической поверхности РР в точке В падения луча АВ является радиус кривизны этой поверхности.

На рис.7.2 точка С — центр кривизны сферической поверхно­ сти, NN — нормаль в точке В падения луча. Луч АВ идет из опти­ чески менее плотной среды (воздух с п = 1) в оптически более плотную среду (стекло с п‘ = 1,5). Построение хода луча после

преломления выпол­ няется следующим об­ разом (рис.7.2): на па­ дающем луче АВ от­ кладывают от точки В отрезки BD и BE, про­ порциональные значе­ ниям п и п ' (пусть BD = 20 мм, тогда длина отрезка BE = 30 мм).

Из точки В прово­ дят дуги радиусами BD

= 20 мм, BE = 30 мм. Из точки D проводят вспомогательную пря­ мую (пунктирная линия), параллельную нормали NN к поверхно­ сти РР, до пересечения ее с дугой радиуса BE (т.К). Через точку К и точку В проводят прямую, продолжение которой даст направле­ ние преломленного луча. В этом случае, как следует из построе­ ния, £ ' < Б.

7.2.Построение хода луча, отраженного от плоского

исферического зеркал. Нарушение гомоцентричности пучков лучей преломляющими и отражающими поверхностями

При построении отраженного луча лучше откладывать от нор­ мали не равные углы s и s', а соответствующие им равные от­ резки.

Для определения направления отраженных лучей 0,5',, 0 2В‘2 выберем на падающем луче АО, (рис.7.3,а) произвольную точку А. Опустим перпендикуляр из точки А на отражающую поверхность РР, продолжим его и от точки О отложим отрезок ОМ —АО. Со­ единим точку М с точкой О, (т. 0 2) пунктирными линиями, про­ должение которых над отражающей поверхностью и даст направ­ ление отраженных лучей, идущих из точки А. Из построений лег­ ко доказать, что угол падения s равен по модулю углу отражения с' т. е. плоская отражающая поверхность не нарушает гомоцен­

тричности пучков лучей.

Пусть теперь на сферическую отражающую поверхность — во­ гнутое сферическое зеркало (рис.7.3,6) или выпуклое сфериче­ ское зеркало (рис.7.4), падает луч АВ. Для построения хода отра­ женного луча проведем нормаль NN к сферической поверхности

Рис. 7.3. Построение лучей, от­ раженных от оптических по­ верхностей: а) от плоского зер­ кала; б) от вогнутого сфериче­ ского зеркала.

в точке В падения лу­ ча, точка С — центр кривизны сфериче­ ской поверхности зер­ кала.

В точке С восстано­ вим перпендикуляр к нормали NN и прове­ дем его до пересече­

ния (т.Л/) с падающим лучом АВ (рис.7.3,6) или его продолжени­ ем (рис.7.4.). Отложим на продолжении перпендикуляра отрезок СЕ = СМ и соединим точку В с точкой Е. Тогда BE — направле­ ние отраженного луча, так как из AMBE видно, что АМВС = А СBE, т. е. соблюдается закон отражения. Точка А' — изображе­ ние точки А после отражения от зеркала. Если из точки А постро­ ить еще один луч, то станет очевидно, что сферическая отражаю­ щая поверхность нарушает гомоцентричность пучка лучей (дока­

зать самостоятельно).

Выполнив построения хода лучей, покажем, что плоская пре­ ломляющая поверхность, разделяющая среды с показателями преломления п, и п2, нарушает гомоцентричность пучка лучей,

т. е. лучи, вышедшие из одной точки предмета на оси (т.Л), после преломления не сходятся в одной точке.

Используя правила построения хода луча через плоскую пре­ ломляющую поверхность, графическим построением найдем точки пересечения преломленных лучей Г, 2' с оптической осью (рис.7.5).

ний видно, что лучи 1, 2 после преломления на сферической по­ верхности не пришли в одну точку, а пересекли оптическую ось в

Относительный показатель преломления определяется как от­ ношение скорости распространения света в воде к скорости рас­ пространения света в стекле, т. е. п2,= и,/ и2, тогда в данном слу­ чае п2Л= и,/ и2= 225 000/198 200 = 1,13 522.

Решение.

Абсолютный показатель преломления определяется как отно­ шение скорости распространения света в вакууме к скорости рас­ пространения света в среде (алмазе), т. е. п = с/u, тогда для алма­ за п = 3 • 108/ (124 • 106) = 2,4194.

З а д а ч а 3.

На пути светового луча, идущего из воздуха, стоит пластина из стекла с п2 = 1,5183 (стекло марки К8), поверхности которой па­ раллельны друг другу (плоскопараллельная пластина — ППП). Толщина пластины d = 4 мм. Как изменится оптическая длина пути луча, если луч АВ будет падать на пластину:

а) нормально, т. е. угол падения луча е = 0° (рис.7.7, а); б) под углом е = 30° (рис.7.7, б).

Решение.

Оптический путь L луча — это произведение геометрического пути луча на показатель преломления среды, в которой идет луч. При нормальном падении луча АВ на стеклянную пластину (рис.7.7) оптический путь луча в пластине составил бы L2= nji. Если бы луч АВ шел на такой же толщине d = 4 мм в воздухе, то его оптический путь составлял бы Ц = nxd. Видно, что изменение

после преломления на второй поверхности ППП происходит сме­ щение луча относительно своего первоначального направления. Величина смешения Д луча определяется при небольших углах падения по формуле

Д = (и2 —1)d/n2 = (1,5183 - 1)4/1,5183 = 1,365 мм. З а д а ч а 4

Определить угол преломления луча на плоской поверхности, разграничивающей среды с показателями преломления п = I, п\ = п2 = 1.5183, если угол падения луча е, = 30°.

Решение.

В соответствии с законом преломления sine', =«,sins| /и',,

sins', = 1 • sin3071,5183 = 0,3293, и угол преломления s', = 19°14'. Видно, что при п\ > «, преломленный луч приближается к норма­ ли, проведенной в точке падения луча.

З а д а ч а 5.

Как представляется точка А, находящаяся над поверхностью воды, для смотрящего из воды глаза — ближе к поверхности раз­ дела двух сред или дальше от нее?

Решение.

Пусть РР является границей раздела двух оптических сред с

Используя закон преломления и учитывая выражения для уг­ лов е, и s'|, найдем 0 ,0 /s '= (n /n j • (0,0/s); s' = n/s/n,. Так как n2 > пъ то s' > s. Следовательно, если точка А находится в воздухе (и, = 1), то при наблюдении ее из воды она окажется на большем расстоянии, чем расстояние, на котором она находится в дейст­ вительности, т. е. s' = n2s = 1,333 • s, так как п2= пво0ы= 1,333.

З а д а ч а 6.

Показать, как из закона преломления можно получить закон отражения.

Решение.

В геометрической оптике принимается, что свет распространя­ ется слева направо, и это направление считается положительным. После отражения свет распространяется в той же самой среде, но в противоположном направлении, поэтому скорость света и счи­ тается отрицательной. В этом случае показатель преломления оп­ ределяется как п',= п2 = — с/и. Отсюда следует, что после отраже­ ния показатель преломления меняет знак, т. е. п2 = — п,, тогда sins = — sine’; — s = s', что и требовалось доказать.

З а д а ч а 7.

Доказать, что при повороте плоского зеркача Р,Р,(рис. 7.9) на угол а отраженный от него луч отклонится на угол 2а.

Решение.

Из рис.7.9 следует, что угол (АА',0А'„) по­ ворота отраженного луча из положения 1 в положение II равен

+s'i) = 2(е , — s ц), так как по закону

—еи= —s | + а, или е | —s ц = а, тогда 2(s( —sM) —2а.

Таким образом, при наклоне плоского зеркала на угол а из положения I в положение II угол между отраженными лучами ОА \ и О А составит 2а. Такое свойство плоской отражающей по­ верхности используется во многих оптических приборах.

З а д а ч а 8.

Используя закон преломления, построить ход луча в равнобед­ ренной преломляющей призме (я2 = 1,5).

Решение.

Используя правила построения хода луча через плоские пре­

Применяя закон преломления, построить ход луча в призме из стекла марки К8 («2 = 1,5183), если углы при основании призмы равны 45°. Луч ABt падает на призму параллельно ее основанию (рис.7.11).

Решение.

При построении хода луча ABt на второй поверхности призмы наблюдается явление полного внутреннего отражения, так как вспомогательная прямая Е20 2, параллельная нормали N2N2, не пе­ ресекает дугу, проведенную из точки В2 радиусом B2D2, пропор­ циональным значению показателя преломления п2. Поэтому при построении хода луча на второй поверхности призмы использует­ ся закон отражения, т. е. — е, = s’2. Построение хода луча при

Рис. 7.12. Графическое решение задачи 10.

В

Рис. 7.13. Графическое решение задачи 11:

а) построение изображе­ ний т. А; б) — построе­ ние изображения пред­ мета АВ в плоском зер­ кале.

7777/1

Рис. 7.14. Графическое решение задачи 12.

Графически показать, что в системе из двух плоских зеркал, рас­ положенных под углом а друг к другу, угол между падающим лучом

иотраженным будет в два раза больше угла между зеркалами. Решение.

Графическое решение задачи представлено на рис.7.14