4.ОПТИКА ПАРАКСИАЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ

4.1.Преломление лучей сферической поверхностью

Воптических системах чаше всего используются сферические преломляющие и отражающие поверхности. Это связано с отно­ сительной простотой изготовления и контроля таких поверхно­ стей.

Лучи, образующие с оптической осью углы о конечных разме­ ров, называются действительными.

Если луч АЕ идет в меридиональной плоскости (плоскости чертежа), то его положение в пространстве предметов можно за­ дать двумя координатами: отрезком s — расстоянием от вершины поверхности (т. О) до точки пересечения луча с оптической осью (т.А) и углом 0 между оптической осью и лучом АЕ (рис.4.1).

Начало системы координат расположено в вершине сфериче­ ской преломляющей поверхности (т.О). Положение центра кри­ визны (т. С) сферической поверхности задано радиусом кривизны г, отсчитываемым от вершины поверхности.

Луч АЕ, идущий из среды с показателем преломления п в среду с показателем преломления и' при прохождении через сфериче­ скую преломляющую поверхность образует с нормалью NN к по­ верхности в точке падения Е углы падения и преломления s и s' соответственно. Нормалью NN к сферической поверхности явля­ ется ее радиус кривизны, который образует с оптической осью угол

ф. Положение прелом­ ленного луча ЕЛ'в про­ странстве изображений определяется коорди­ натами Т расстоянием от вершины поверхно­ сти до точки пересече­ ния луча с оптической осью и углом ст' — уг­ лом между оптической осью и лучом ЕА'. Эти координаты можно вы­ числить, используя за­ кон преломления.

Sine = If~ ?)S1— и по закону преломления

Углы 6 и ф являются внешними углами в треугольниках ЛЕС и А’ЕС соответственно, поэтому — s = cp — а, ф = с ' — е', тогда

Формулы (4.1)...(4.4) дают возможность рассчитать координа­ ты ? , ст'луча в пространстве изображений по заданным коорди­ натам луча s, а в пространстве предметов и известным величинам г, п, п'при прохождении луча через сферическую преломляющую поверхность.

Формулы (4.1), (4.2) и (4.4) позволяют после несложных алгеб­ раических преобразований получить :

гг

Из рис.4.1 видно, что

где I, Г — геометрические длины хода лучей (отрезки АЕ и А'Е) в пространстве предметов и изображений соответственно, тогда из (4.5) найдем, что

Из формулы (4.9) следует, что при заданной координате 5 (оп­ ределяет положение предметной точки А) и известных п, п', г, значение координаты s '(определяет положение точки А) не зави­ сит от угла ст. Следовательно, в параксиальной области все лучи, выходящие из предметной точки А, в пространстве изображений пересекаются в точке А\ то есть параксиальная область обладает

свойствами идеальной оптической системы.

Углы ст, а ' (между оптической осью и лучами) в параксиальной области принято обозначать а, а'. Заменяя в формулах (4.7) вели­ чины углов ст, сг' на величины углов а, а', а также отрезки I, Г на отрезки s, s' и учитывая малость углов а, а', запишем:

где а, а ' — углы параксиального луча, выраженные в радианах. Умножая левую и правую части уравнения (4.9) на высоту А,

получим с учетом (4.10)

— уравнение параксиального луча в углах и высотах.

Выражение (4.11) позволяет рассчитать ход параксиального лу­ ча только через одну поверхность. При расчете луча через не­ сколько поверхностей необходимо последовательно переносить начало координат в вершину следующей по ходу луча поверхно­ сти. Вводя в формулу (4.11) подстрочные индексы, соответствую­ щие номеру поверхности по ходу луча (рис.4.2), запишем :

где v = 1, 2, ..., k; k — количество поверхностей в оптической системе.

Из простых геометрических соотношений (рис.4.2) с учетом малости величин а и А следует, что переход от высоты поверхно­ сти с номером v к высоте поверхности с номером v + 1 осуществ­ ляется по формуле: