Рис. 4.2. Ход параксиального луча через систему из нескольких сфериче­ ских поверхностей.

Формулы (4.12) и (4.13) позволяют рассчитать ход параксиаль­ ного луча через оптическую систему, содержащую любое количе­ ство поверхностей.

4.3.Инварианты для параксиальной области

Впараксиальной области вследствие малости углов б и е ' закон преломления записывают в виде п е = п е' и называют оптическим

инвариантом.

Инвариант преломления Аббе в параксиальной области опреде­ ляется выражением п(1/г-— 1/s) —п ‘( 1/r —I/s') = Qs так как в па­ раксиальной области геометрические длины хода луча /, Г стре­ мятся к длинам отрезков s, s'.

В геометрической оптике важную роль играет соотношение, названное в честь его авторов инвариантом Лагранжа-Гельмголь­ ца. Построим изображение отрезка АВ (у), перпендикулярного оптической оси {ОС), через сферическую преломляющую поверх­ ность радиуса г (рис.4.3).

Так как параксиальная область обладает свойствами идеальной оптической системы, то изображение А'В' = ^'находится в плос­ кости, перпендикулярной оптической оси и проходящей через т.А', сопряженную с т.А. Чтобы найти положение точки В', доста­ точно построить луч ВС, проходящий через центр кривизны (т. С)

Рис. 4.3. Геометрическая интерпретация инварианта Лагранжа—Гельм­ гольца.

сферической преломляющей поверхности. Этот луч, в соответст­ вии с законом преломления, пройдет через сферическую поверх­ ность без преломления, так как он совпадает с нормалью к по­ верхности (радиусом кривизны) и для него углы падения и пре­ ломления равны нулю.

Луч ВО (рис.4.3) образует с нормалью к поверхности (в дан­ ном случае нормалью является оптическая ось) углы падения и преломления е, е' соответственно и в пространстве изображений проходит через т. В', так как в параксиальной области гомоцентричность пучков лучей не нарушается. Из прямоугольных тре­ угольников АВО и А'В'О' имеем:

Высота падения h луча АЕ (рис.4.3) на сферическую прелом­ ляющую поверхность в параксиальной области мала, поэтому ос-

нование перпендикуляра, опущенного из т.Е на оптическую ось, находится на бесконечно малом расстоянии от т. О, тогда

h = ( —a) (~s) = а 's’, или s'/s = а / а

Подставляя последнее соотношение в уравнение (4.17), полу­ чим

где I — инвариант Лагранжа—Гельмгольца в параксиальной облас­

ти.

Произведение величин п, у, а постоянно в любом пространст­ ве, следовательно, инвариант Лагранжа-Гельмгольца — полный инвариант. Вводя в (4.18) подстрочные индексы, соответствую­ щие номеру поверхности по ходу луча, запишем

/= nv yv av = const.

4.4.Фокусные расстояния сферической преломляющей

поверхности

Сферическая преломляющая поверхность представляет собой простейшую оптическую систему. Для определения кардинальных элементов сферической преломляющей поверхности воспользу­ емся инвариантом Аббе в ггараксиальной области.

Параксиальный луч, идущий в пространстве предметов парал­ лельно оптической оси, выходит из бесконечно удаленной осевой точки пространства предметов, поэтому l/s = 0. После преломле­ ния в т.Е на сферической поверхности этот луч пройдет через задний фокус F (рис.4.4). Основание перпендикуляра, опущенно­ го из т.Е на оптическую ось расположено на бесконечно малом расстоянии от т.О, следовательно, задняя главная плоскость про­ ходит через вершину сферической преломляющей поверхности, а заднее фокусное расстояние f —s', тогда из (4.15) следует

f ' = ( n ' r ) / ( n ' - n ) . (4.19)

Рис. 4.4. Фокусные рас­ стояния сферической преломляющей поверх­ ности.

Используя анало­ гичные рассуждения, можно доказать, что передняя главная плоскость проходит через вершину сфери­

ческой преломляющей поверхности, а переднее фокусное рас­ стояние равно

Таким образом, передняя и задняя главные плоскости сфери­ ческой преломляющей поверхности совпадают и проходят через ее вершину, а фокусные расстояния вычисляются по формулам (4.19) и (4.20).

Оптическую силу Ф сферической преломляющей поверхности можно найти из выражений (4.19), (4.20):

Ф = « '//' = - я / / = (и' - п)/г.

4.5. Вспомогательные лучи

При расчете и проектировании оптических систем возникает необходимость рассчитывать ход лучей через поверхности при ко­ нечных углах лучей с оптической осью и конечных высотах на преломляющих поверхностях.

Рассмотренные выше параксиальные лучи для этих целей не­ пригодны из-за бесконечно малых значений углов и высот. Фор­ мулы для идеальной системы также нельзя использовать, так как в них отсутствуют радиусы кривизны поверхностей, а формулы для действительных лучей довольно сложны, поэтому было введе­ но понятие вспомогательного луча.

Вспомогательным лучом называется луч, преломление (отра­ жение) которого происходит не на поверхностях, а на совмещен­ ных главных плоскостях этих поверхностей. Он идет на конечном