23. Теорема Понтрягина

Теорема 2.1 (принцип максимума Понтрягина). Пусть u(t), t0<t<t1 — допустимое управление, а x(t) — соответствующая ему траектория, переводящая фазовую точкуxсистемы (2.1) из заданного начального положения х° в заданное конечное положение х¹ где х(tо) = х°, x(t₁) = x¹. Еслиu(t) и x(t) — оптимальное управление и оптимальная траектория, то найдется такая непрерывная вектор-функция ψ(t),удовлетворяющая уравнениям (2.7), что:

1) в каждый момент времени t,t0tt1 функциярассматриваемая как функция переменногоu, достигает в точкеu=u(t) максимума

2) выполнено условие нетривиальности решения системы уравнений (2.7)

3) в конечный момент времени t1

Теорема 2.2 (принцип максимума в задачах на быстродействие). Пусть u(t) и х(t), t0 <t <t1, — допустимое управлениеuсоответствующая ему траектория, переводящие фазовую точку из заданного начального положения в заданное конечное положение x¹ Если управлениеu(t) и траектория х(t) являются оптимальными по быстродействию, то найдется непрерывная вектор-функцияудовлетворяющая уравнениям (2.14), что:

1. в каждый момент времени t,t0tt1 функция, рассматриваемая как функция переменногоu, достигает в точкеu=u(t) максимума

2. выполнено условие нетривиальности решения системы уравнений (2.14)

3) в конечный момент времени t₁

63.Принцип максимума Понтрягина.

Принципом максимума называют математический метод, который был разработан академиком Л. С. Понтрягиным и его учениками для решения задач оптимального управления. Предложенная авторами метода математическая модель процесса и чёткое компактное формулирование основного результата - сильных необходимых условий оптимальности, оказались очень удачными.

Несмотря на то, что первые публикации по принципу максимума появились уже более сорока лет назад, принцип максимума и в настоящее время остаётся основным инструментом для определения оптимального управления и оптимальных траекторий. В данном разделе рассматриваются задачи оптимального управления, когда заданы ограничения только на вектор управления. Этому соответствует классический вариант принципа максимума, который наиболее часто используется на практике.

Строго говоря, принцип максимума ориентирован на определение программного оптимального управления.

Однако он часто позволяет легко выявить структуру оптимального управления и вид оптимальных траекторий, что даёт возможность выделить всю совокупность оптимальных траекторий. Таким образом, принцип максимума можно успешно использовать для синтеза оптимального управления. Большинство рассмотренных ниже примеров посвящены именно определению всей совокупности оптимальных траекторий и, следовательно, синтезу оптимального управления.

Задача с закрепленными концами и фиксированным временем

При отсутствии фазового ограничения задачу оптимального управления в этом случае в общем виде можно сформулировать как следующую задачу Лагранжа:

Beeфункцииfiнепрерывныnoсовокупности переменныхx1, .....xn,u1,...ur,tи непрерывно дифференцируемы поx1,..xn,t.

Эта задача отличается от задачи (10.28)—(10.31) с закрепленными концами и фиксированным временем, рассмотренной в предыдущем параграфе, тем, что ограничение задается в виде включения uЄU, гдеU— допустимое множество значений управления. Кроме того, здесь не требуется гладкость (непрерывная дифференцируемость) функцийfi(i= 0, 1,…n) по управлениюu.

Допустимым принимается управление u(t), принадлежащее к классу кусочно-непрерывных функций и принимающее значение из допустимого множестваU. Фазовая траектория х(t) называется допустимой, если она является кусочно-гладкой. При допустимом управлении фазовая траектория задачи (10.47) является кусочно-гладкой: координатыxi(t) (i= 1,2,..n) непрерывны всюду на интервалеа их производные могут иметь разрыв 1-го рода в точках разрыва управления. Пара называется допустимой для задачи(10.47), еслиявляются допустимыми управлением и траекториейудовлетворяет уравнениям и краевым условиям этой задачи.

Применим к задаче (10.47) прием Лагранжа [1]. Составим функцию Лагранжа:

где гамильтониан

функцию Н называют также функцией Понтрягина [1]. Функции Лагранжа и Понтрягина имеют такой же вид. что и соответствующие функции в вариационных задачах классического типа, рассмотренных в предыдущем параграфе, только в эти функции не входит ограничение на управление, имеющее в данном случае вид включения uЄU. В соответствии с приемом Лагранжа задача (10.47) сводится к задаче

Функционал максимизируется, хотя функционалJв исходной задаче требуется минимизировать, так как множитель ψ₀приf₀. или, что то же, приJ, в неособом случае принимается отрицательным (ψ₀=-1). В особом случае (ψ₀= 0) функционалне зависит отJ.

Пусть (x*(t),u*(t), ψ*(t)) — решение задачи (10.49). Очевидно, задача (10.49) равносильна следующим двум:

Или

при тех же граничных условиях, что и в задаче (10.49). Естественно, задачи (10.49)—(10.51), как и исходная задача, рассматриваются в классе допустимых функций, причем функция ψ(t) называется допустимой, если она, как и х(t), является элементом множества кусочно-гладких функций.

Задача (10.50) — простейшая задача вариационного исчисления. Для нее необходимые условия (уравнения Эйлера) имеют вид

Решение задачи (10.51) очевидно: управление u*(t) доставляет максимум в этой задаче в том и только в том случае, если всюду на [t0,tj] кроме точек разрываu*(t), выполнено равенство

Необходимые условия задачи (10.50) совместно с условием (10.54) составляют необходимые условия задачи (10.47), называемые принципом максимума или принципом максимума Понтрягина. Уравнения (10.53) совпадают с уравнениями объекта, и поэтому их можно не рассматривать. Уравнения (10.52) называют сопряженными уравнениями или сопряженной системой.

Принцип максимума. Для того чтобы допустимая для задачи (10.47) пара (u*(t), х*(t)) была ее решением, необходимо, чтобы существовали такие не обращающиеся одновременно в нуль константа ψ0 <= и решение ψ* = {ψ*1, ... .ψ*n)^T сопряженной системы (10.52) приx(t) = х*(t) иu(t) =u*(t), что при любомtЄ[t0,tj], кроме точек разрываu*(t), функциямдостигает приu=u*(t) максимума, т. е. выполняется соотношение (10.54).