6.Определение функционала как переменной величины.

1. Функционал - переменная величина I, зависящая от функций

если каждой из функций (1.5), взятой из некоторого класса этих функций, соответствует определенное значение функционала /. Такая зависимость записывается в виде

Рассмотрим математическую постановку задачи оптимального управления. Пусть уравнения, описывающие поведение объекта управления, имеют вид

(1.1)

или в векторной форме

где х— вектор состояния объекта, u – вектор управления, f(x,u)-векторная функция, координатами которой являются правые части уравнений.

На вектор управления и накладываются ограничения. Полагаем, что его значения принадлежат некоторой замкнутой области U в r-мерном пространстве управлений, т. е. в любой момент времени uU. Если, например, координаты вектора управления удавлитворяют неравенствам

-1< u_j<1 (j=1,2…,r)

то область управления U представляет собой г-мерный куб. Назовем допустимым управлением всякую кусочно-непрерывную функцию а(0, значения которой в каждый момент времени t принадлежат области управления U и которая может иметь разрывы 1-го рода.

Почему нельзя ограничиться классом непрерывных функций? Оказывается, как это будет показано далее, даже в некоторых простейших задачах оптимального управления решение может быть получено в классе кусочно-непрерывных управлений. Для того чтобы выбор управления u(t) как функции времени и начального состояния системы х° однозначно определял ее движение, требуется, чтобы система уравнений (1.1) удовлетворяла условиям теоремы существования и единственности решений в той области пространства X*U в которой расположены возможные траектории системы x(t) и допустимые управления u(t)*). Если область изменения является выпуклой, то для существования и единственности решений достаточно, чтобы функции f(x, u) были непрерывны по всем аргументам и имели непрерывные частные производные по переменным x_i (i = 1,2, ..., n).

В качестве критерия, характеризующего качество процесса управления, выберем функционал

(1.2)

Относительно подынтегральной функция f(x, u) предполагать, что она непрерывна по всем аргументам и имеет непрерывные частные производные по переменным x_i (i = 1,2, ..., n).

Основную задачу определения оптимального управления можно сформулировать следующим образом. В фазовом пространстве X заданы начальное х° и конечное х1 состояния объекта управления. Среди всех допустимых управлений u(t), для которых соответствующие траектории системы проходят через начальное и конечное состояние, необходимо выбрать такое, для которого функционал

принимает минимальное значение.

8. 38 Сравнительный анализ функции и функционалов.

Функционал - функция, определенная на множестве функций.

А функция - отображение, имеющее числовые значения.

Процесс функционального проектирования систем управления неразрывно связан с решением задачи оптимизации управления, то есть задачи оптимального достижения главной цели при соблюдении множества ограничений. В общем случае цель управления заключается в том, чтобы перевести объект из начального состояния x(t₀), в котором он находится в момент t₀, в конечное состояние x(t₂), принадлежащее подобласти R₁ области допустимых состояний R , то есть x(t₂) R1. Здесь R₁ R, что соответствует выделению в пространстве состояний области допустимых состояний R и сужению ее до некоторой области R₁, которая для нас по каким-то причинам является желательной.

Задача управления заключается в том, чтобы в области допустимых управлений Q(u) найти такое управление, при котором будет достигнута цель.

Функционалы и функции, выражающие цель управления и ограничения, называют критериями качества.

Операция формирования критерия качества управления является наиболее ответственной на подготовительной стадии проектирования. Поэтому наиболее оптимальное ее выполнение достигается путем сочетания формализованных методов и творческой деятельности проектировщика, работающего в диалоге с вычислительной системой.

Рассмотрим некоторые методические аспекты формирования критериев качества управления для решения задач предварительного синтеза системы управления.

Качество управления можно описать двумя способами.

Первый способ предусматривает или непосредственное задание динамических характеристик выходных координат системы при типовых воздействиях, или задание совокупности прямых и косвенных показателей качества (значение перерегулирования, времени регулирования, статической ошибки, частоты среза, полосы пропускания и т.д.).

Второй способ основан на введении некоторого обобщенного функционала, определяемого всеми переменными системы управления u(t), x(t), y(t).

В теории линейных систем управления широко используются оба указанных способа.

Важным шагом в постановке и решении общей задачи управления является выбор критерия оптимальности. Этот выбор является неформальным актом, он не может быть предписан какой-либо теорией, а целиком определяется содержанием задачи. В некоторых случаях формальное выражение понимания оптимальности системы допускает несколько эквивалентных (или почти эквивалентных) формулировок.

В таких случаях успех и простота получаемого решения во многом определяется выбранной формой критерия оптимальности (при условии, что во всех случаях он достаточно полно определяет требования задачи к системе). После построения ММ процесса управления дальнейшее ее исследование и оптимизация проводится математическими методами.

Величина J[u(t)] называется функционалом функции u(t) на отрезке t0 ≤t ≤t1 , если каждой функции u(t), , принадлежащей некоторому классу функций, поставлено в соответствие определенное число

Таким образом, функционал J[u(t)] – это отображение, в котором роль независимого переменного (функционального аргумента) играет функция u(t). При этом J[u(t)] зависит от совокупности всех значений, принимаемых функцией u(t) на отрезке , и может рассматриваться как функция бесконечного числа независимых переменных.

Для каждого фиксированного конечного момента времени состояниесистемы S, движущейся из начального состоянияв соответствии с уравнением (1), является одновременно векторным функционалом (т.е. вектором, компонентами которого являются функционалы) от управления u(t) и вектор-функцией от вектора a и вектора начальных условий.

Критерии качества процессов управления являются функционалами.

Достаточно общая форма критерия качества в ТОП имеет вид

где x(t) удовлетворяет системе (1); u(t) – некоторое выбранное управление; а – управляющий параметр.

В частности, каждую из координат x_i (t) системы (1) можно записать в форме