1.2 . Различные виды функционалов

Исторически возникла ситуация, что в классическом вариационном исчислении рассматривались только интегральные функционалы видов

Однако помимо интегральных функционалов в практических задачах возникают и так называемые терминальные функционалы. Простым примером терминального функционала служит значение функции в некоторой точке:

Вариационная задача, в которой требуется оптимизировать интегральный функционал при ограничениях, называется задачей Лагранжа. Вариационная задача, в которой требуется оптимизировать терминальный функционал при некоторых ограничениях, называется задачей Больца. Вариационная задача, в которой требуется оптимизировать сумму интегрального и терминального функционалов при некоторых ограничениях, называется задачей Майера. Несложно показать, что задачи Больца и Майера сводятся к задаче Лагранжа и задача Лагранжа сводится, как к задаче Больца, так и к задаче Майера. Рассмотрим примеры такого взаимного сведения задач.

37. Формы аналитического выражения функционала.

7.Определение методов вариационного исчисления по исследованию функционалов на экстремум.

Переменная величина J[x(t)] называется функционалом, зависящим от функции x(t), если каждой функции x(t) (из некоторого класса функций) соответствует числоJ. Аналогично определяются функционалы, зависящие от нескольких функций.

Функционал J[x(t)] достигает на x°(t) минимума, если его значение на любой близкой к x°(t) кривой(t) не меньше, чем J[x°(t)], т. е.

Аналогично определяется кривая, на которой реализуется максимум. В этом случае для всех кривых, близких к кривойx⁰(t).

Уточним понятие близости кривых. Кривые x(t) и (t) близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности x(t)—(t) мал. Кривые x(t) и(t) близки в смысле близости 1-го порядка, если модули разностей x(t)—(t) ималы. Кривые x(t) и(t) близки в смысле близостиk-го порядка, еслипроизводная, ε — достаточно малое число. На рис. 2.1.2 изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка (координаты их близки, а направления касательных существенно различаются), а на рис. 2.1.3 приведены кривые, близкие в смысле близости 1-го порядка.

Если функционал J[x(t)] достигает на кривойx°(t) минимума или максимума по отношению ко всем кривым, близким кx°(t) в смысле близости нулевого порядка, то такой минимум (или максимум) называется сильным.

Если функционал J[x(t)] достигает минимума (или максимума) лишь по отношению к кривымx(t), близким кx°(t) в смысле близости 1-го порядка, то такой минимум (или максимум) называется слабым. Очевидно, что если достигается сильный минимум (максимум), то достигается и слабый. Далее, если не оговорено противное, будет подразумеваться слабый минимум (максимум).

Разность функций (t) -x(t)=δx(t) называется вариацией (приращением) аргументаx(t) функционалаJ[x(t)].

10. Функции близкие по ординате и производной

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА

Понятие функционала является естественным развитием понятия функции. Говорят, что в классе функций задан функционал, если указано правило, по которому каждой функции из этого класса ставится в соответствие некоторое число.

Например, интеграл

каждой непрерывной функции у(х) ставит в соответствие число, т.е. является функционалом.

Вариационным исчислением называется раздел математики, в котором рассматриваются задачи определения максимума и минимума функционалов, а также определения функций (кривых), на которых эти максимумы и минимумы достигаются. Приведем простой пример вариационной задачи. На плоскости заданы две точки с координатами (а, В) и (b, В). Требуется среди линийсоединяющих эти точки, найти такую, которая имеет наименьшую длину, т.е. найти функцию у(х), на которой функционал

достигает минимума.