4. 69 Квадратичный критерий оптимизации.

Определение передаточной функции или импульсной характеристики оптимального регулятора при детерминированных воздействиях связано с серьезными трудностями по условиям физической реализуемости. Этих трудности удается избежать, если критерий качества для детерминированных воздействий задать в следующей форме:

при отсутствии ограничений на управляющее воздействие u

при наличии ограничений

где qиr– весовые коэффициенты,– множитель Лагранжа, которые находят в процессе решения задачи.

5. 70 Задача оптимизации систем управления по расходу топлива

Пусть дана система , которая может описывать динамику полета ракеты, а функция управленияuявляется тягой, приложенной к ракете. Очевидно, чтоuбудет определяться величиной изменения расхода топлива, тогда критерий качества системы можно представить в виде функционала

, (4.1)

характеризующего общий расход топлива.

Задача управления может быть в этом случае сформулирована следующим образом. Необходимо найти u(t), переводящее системы из положенияx₁приt₁вx₂приt₂ таким образом, чтобы расход топлива был минимальным.

Пример 3: Пусть объект описывается уравнением, где. Задача регулятора – перевести объект из произвольной точки х₀в начало координат за времяT, обеспечив при этом минимум функционала

(4.2)

В приведенной задаче важную роль имеет верхний предел функционала. Если Т меньше t*, гдеt* соответствует минимально возможному времени достижения начала координат из точки х₀, то решение задачи не существует. Таким образом необходимо, чтобы выполнялось условиеT>=t*. Кроме того время Т должно быть ограничено. Функционал вида, лишен смысла при некоторых начальных условиях. Далее, еслииx– координаты фазовой плоскости, то даже приизображающая точка из положения х₀ в четвертом квадранте будет перемещаться по горизонтали налево, а во втором квадранте – направо. Пусть изображающая точка х₀расположена на положительной оси х. Для ее перемещения в начало координат необходимо приложить малое отрицательное управлениеu(t). Тогда изображающая точка будет двигаться под осью к началу координат с бесконечно малой скоростью. Когда она достигнет точки ниже начала координат, необходимо создать бесконечно малое приращениеu(t) в положительном направлении, чтобы изображающая точка попала в начало координат. Расход топлива в этом случае, очевидно, может быть сколь угодно малым.

Рисунок 4 – Оптимальная по расходу топлива траектория движения объекта управления

10. Функции близкие по ординате и производной

11. Исследование функционалов с закрепленными и подвижными границами.

12. 43 Определение условия трансверсальности.

1. Задача с закрепленным временем.Выше была сформулирована задача оптимального управления. При этом предполагалось, что время движения не задано. Поскольку уравнения (2.1) являются автономными, то можно положить начальный момент временификсированным, а конечный момент временисвободным.

Будем теперь считать, что моменты времени ификсированы. Это приведёт к тому, что из необходимых условий минимума выпадет соотношение

. (2.52)

Таким образом, необходимые условия оптимальности для задачи с фиксированным временем движения задаются теоремой 2.1, из формулировки которой следует исключить условие (2.52). Отметим, что соотношение

по-прежнему сохраняет свою силу. Однако функция теперь не обязательно должна равняться нулю.

2. Задача с подвижными концами. Выше предполагалось, что начальное и конечное состояние системы строго определены, т.е. в фазовом пространстве заданы начальнаяи конечнаяточки, которые следует соединить оптимальной траекторией. Рассмотрим более общий случай. Предположим, что вместо начальной и конечной точек заданы начальноеи конечноемногообразия. Пусть многообразиезадаётся уравнениями

(2.53)

а многообразие - уравнениями

(2.54)

Если n=3, аp=k=1, то многообразияипредставляют собой поверхности в трехмерном фазовом пространстве. Приn=3,p=2, k=1 многообразиезадается как множество, образованное пересечением двух поверхностей (рис. 2.15), т.е. является линией в трехмерном фазовом пространстве, а многообразиепо-прежнему представляет собой поверхность.

Рис. 2.15.

Функции и,,, будем полагать непрерывно дифференцируемыми по всем своим аргументам. Введем вектор

называемый градиентом функции.

Многообразие называетсягладким, если в каждой точкеследующие векторы

(2.55)

линейно независимы. Условие линейной независимости векторов (2.55) эквивалентно требованию, чтобы ранг матрицы

был равен p. Аналогичным образом определяется гладкость многообразия. В дальнейшем многообразияиполагаются гладкими.

Рассмотрим следующую задачу: требуется среди допустимых управлений u(t), переводящих фазовую точкуxс многообразияна многообразие, найти такое, которое доставляет минимум функционалу (2.2). Так как в поставленной задаче концы траекторииx(t) могут скользить по многообразиями,соответствующую задачу оптимального управления будем называтьзадачей с подвижными концами.

Пусть u(t) иx(t),, - управление и траектория, решающие поставленную выше задачу оптимального управления с подвижными концами. Но тогда найдутся точкии, лежащие соответственно на многообразияхи(рис. 2.15). Ясно, что управлениеu(t) и траекторияx(t)являются оптимальными и в смысле рассмотренной в п.2.1 двухточечной задачи оптимального управления, т. е. управлениеu(t) и траекторияx(t)должны удовлетворять принципу максимума (теореме 2.1).

Таким образом принцип максимума (теоремы 2.1 и 2.2) остается в силе и для задачи с подвижными концами. Однако в этом случае необходимо иметь некоторые дополнительные условия, которые позволили бы определить положение точек ина многообразияхи.

Для получения указанных дополнительных условий обратимся к п.1.5, в котором приводятся необходимые условия оптимальности, полученные методами классического вариационного исчисления. Дополнительные условия задаются соотношениями (1.79). Выпишем эти условия, используя обозначения, принятые в принципе максимума:

(2.56) (2.57)

здесь и,,, - некоторые числа. Во избежание недоразумений отметим, что имеющееся в (1.79) дополнительное условие вида

(2.58)

в равенстве (2.56) опущено, так как − произвольное число, и, следовательно, соотношение (2.58) не несет какой-либо новой информации.

Будем говорить, что на левом конце траектории x(t) (в момент) выполнено условие трансверсальности, если найдутся такие числа(), что имеют место соотношения (2.56). Аналогично, говорят, что на правом конце траекторииx(t) выполнены условия трансверсальности, если найдутся такие числа(), при которых выполняются равенства (2.57). В смешанном случае, т. е. когда один конец траектории закреплен, а второй подвижен, условия трансверсальности следует относить к подвижному концу траектории.

Сформулируем окончательный результат. Необходимые условия оптимальности в задаче с подвижными концами заключаются в следующем:

1. оптимальное управление u(t) и траектория x(t) должны удовлетворять принципу максимума (теореме 2.1 или 2.2);

2. на подвижных концах траетории должны выполняться условия трансверсальности.

Условия трансверсальности являются теми дополнительными условиями, которые позволяют, в конечном счете, определить начальную и конечную точки, лежащие на многообразиях и. Действительно, координаты неизвестных точекивместе снеопределенными множителями Лагранжа,,,, приводят кнеизвестным числам. Для определения указанных чисел необходимо воспользоватьсяусловиями трансверсальности (2.56), (2.57) иуравнениями (2.53), (2.54), т. е. число неизвестных совпадает с числом уравнений.

Формально условиями трансверсальности можно пользоваться и в том случае, когда в уравнениях (2.53) и (2.54) p=k=n.Уравнения (2.53) и (2.54) в этом случае задают соответственно начальную и конечнуюточки, т. е. имеет место двухточечная задача оптимального управления. Использовать условия трансверсальности в двухточечной задаче оптимального управления вряд ли целесообразно, так как это может только усложнить решение задачи.

Выясним геометрический смысл соотношений (2.56) и (2.57). Для этого запишем их в векторной форме:

; (2.59)

; (2.60) Известно, что вектор

(2.61) ортогонален к поверхности ^

(2.62)

в точке . Многообразиеобразовано пересечениемповерхностей (2.53). Поэтому вектор (2.61), являясь ортогональным к поверхности (2.62), ортогонален и к многообразию, которое принадлежит поверхности (2.62). Таким образом, правая часть равенства (2.59) является линейной комбинацией векторов, каждый из которых ортогонален многообразию. Поскольку векторы (2.55) линейно независимы, то вектор (2.59) является ортогональным к многообразиюв точкевектором общего положения. Аналогичным образом, можно показать, что вектор, стоящий в правой части равенства (2.60), является ортогональным к многообразиюв точкевектором общего положения.

Вектор Yназывается ортогональным к многообразиюв точке, если он ортогонален к плоскости, которая касается многообразияв точке. Касательная к многообразиюплоскость образуется пересечениемpплоскостей, каждая из которых касается в точкеодной из поверхностей

, .

Обозначим плоскость касательную к многообразию, а- плоскость касательную к многообразию.

Условия трансверсальностиможно сформулировать в следующем виде. Говорят, что на правом конце траекторииx(t) выполнено условие трансверсальности, если векторортогонален плоскости. Аналогичным образом формулируется условие трансверсальности и для левого конца траекторииx(t).