2.1.3. Алгебра высказываний
Сложные высказывания называются равносильными (f ≡ g), если на одинаковых наборах значений элементарных высказываний они принимают одинаковые значения.
Законы :
1. Коммутативный.
A B ≡ B A AB ≡ BA
2. Ассоциативный.
A (B C) ≡ A B C A(BC) ≡ ABC
3. Дистрибутивный.
A BC ≡ (A B)(A C)
A(B C) ≡ AB AC
4. Де Моргана.
A B ≡
AB AB
≡ A
B
5. Идемпотентности.
A A ≡ A AA ≡ A
6. Поглощения.
A (AB) ≡ A A(A B) ≡ A
7. Исключенного третьего. Противоречия.
A A ≡ 1 AA ≡ 0
8. A 1 ≡ 1 A1 ≡ A
9. A 0 ≡ A A0 ≡ 0
1 0. 0 ≡ 1 1 ≡ 0
1 1. A ≡ A
12. A B ≡A B
1 3. A B ≡ AB AB
1 4. A B ≡AB AB
1 5. A | B ≡ AB ≡ A B
1 6. A B ≡A B ≡AB
17. Операция склеивания.
AB AB ≡ A
2.1.4. Формы представления высказываний
1. Форма А1 А2 ... Аn, где Аi, - элементарное высказывание или отрицание элементарного высказывания (литерал), называется элементарной дизъюнкцией.
2. Форма B1 B2 ... Bn, где Bi - литерал, называется элементарной конъюнкцией.
3. Форма D1 D2 ... Dn, где Dj - элементарная дизъюнкция, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).
4. Форма K1 K2 ... Kn, где Kj - элементарная конъюнкция, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).
Всегда истинное (на любых наборах значений входящих в него элементарных высказываний) сложное высказывание называется тавтологией.
Всегда ложное (на любых наборах значений входящих в него элементарных высказываний) высказывание называется противоречием.
Совершенной КНФ (СКНФ) называется такая КНФ, что каждая входящая в нее элементарная дизъюнкция содержит все элементарные высказывания прямо или с инверсией строго по одному разу. Нет повторяющихся дизъюнкций. Любое сложное высказывание, кроме тавтологии, имеет единственную СКНФ.
Совершенной ДНФ (СДНФ) называется такая ДНФ, что каждая входящая в нее элементарная конъюнкция содержит все элементарные высказывания прямо или с инверсией строго по одному разу. Нет повторяющихся конъюнкций. Любое сложное высказывание, кроме противоречия, имеет единственную СДНФ.
2.1.5. Преобразование высказываний
Сложное высказывание, представленное в произвольном виде с помощью равносильностей с 11 по 16, а также с использованием законов Де Моргана могут быть преобразованы к нормальной форме.
Преобразование КНФ в СКНФ.
Схематично основную идею преобразования можно представить так:
X Y ≡ X Y 0 ≡ X Y ZZ ≡ (X Y Z)(X Y Z)
Преобразование ДНФ в СДНФ.
Схематично основную идею преобразования можно представить так:
XY ≡ XY1 ≡ XY(Z Z) ≡ XYZ XYZ
Преобразование СДНФ в СКНФ и наоборот.
Рассмотрим на примере:
Возьмем логическую функцию f (сложное высказывание) в СДНФ и построим отрицание этой функции, т.е. функцию f, путем выписывания всех конституент единицы, не входящих в f.
Примеры:
Пусть f имеет вид
f=X1X2X3 X1X2X3 X1X2X3 X1X2X3
3 5 6 7
(мнемонический прием – приписать конституентам числа, которые получаются, если посмотреть на конституенты как на двоичные числа)
Отрицание функци f получим выписыванием недостающих конституент (недостающих двоичных чисел).
f =X1X2X3 X1X2X3 X1X2X3 X1X2X3
0 1 2 4
А теперь применим отрицание к функции f.
f = X1X2X3 X1X2X3 X1X2X3 X1X2X3 ≡
≡ (X1X2X3)(X1X2X3)(X1X2X3)(X1X2X3) – СКНФ (функции f).
Пример 2:
f =XYZ XYZ XYZ XYZ XYZ XYZ
2 7 0 5 4 3
f
=
XYZ
XYZ≡(XYZ)(XYZ)
6 1
Переход от СКНФ к СДНФ.
Возьмем логическую функцию f в СКНФ и построим отрицание этой функции, т.е. функцию f, путем выписывания всех конституент нуля, не входящих в f.
Пусть f имеет вид
f=(XYZ)(XYZ)
f=(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)≡
≡XYZXYZXYZXYZXYZXYZ