2.6.Система Генцена

В ее основе лежит понятие секвенции.

Секвенции имеют вид

антецедент - A₁, A₂, ... A_{n } B₁, B₂, ... B_n - сукцедент



знак секвенции

Содержательно это равносильно выражению:

A₁A₂...A_n B₁B₂...B_n

Аксиома(схема аксиом) в системе Генцена единственная и она имеет вид:

AA

Правила вывода:

(Из секвенций над чертой выводимы секвенции под чертой, а Гобозначает какое-то множество формул).

1) A, ГВ 1)ГA;ГАВ

ГАBГВ

2) ГА;ГB 2)ГАВ

ГАВГА

3) ГА 3)Г, AB;Г, СB;ГAВ

ГABГВ

4. Г, А4)ГА;Г¬А

Г¬АГ

5. Г, A, BC

Г, B, AC

6. A, AB 6)AB, B

AB AB

7. ГB 7)ГA

Г, ABГA, B

Докажем АА :

1. Из первой аксиомы, при Г=и В = А:

A A

 А A

Теорема доказана.

Докажем ¬AA

AA

 ¬A, A

 ¬AA,¬A

 ¬AA

2.7.Система Аристотеля

Древнейшей аксиоматической системой является система Аристотеля. Она не может быть полностью интерпретирована с помощью логики предикатов. Тому ряд причин и одна из существенных – то, что при интерпретации сущностей аристотелевой логики могут использоваться только непустые множества.

В связи с этим прямой перевод на язык предикатов может приводить к парадоксальным ситуациям. Например,

пусть P(x) - x выше двух метров

На множестве людей имеет место: х Р(х) = 0,х Р(х) = 1.

Но на множестве марсиан х Р(х) = 1,х Р(х) = 0.

т.е.х Р(х)х Р(х)

Рассуждения в аристотелевой логике базируются на том, что если некоторые высказывания верны, то и некоторое новое предложение обязано быть верным в силу правильности логической конструкции (силлогизма).

Пример.

Интерпретация множествами:

Смертные

Животные

Люди

То есть из «Все животные смертны» и «Все люди – животные» следует

«Все люди смертны» или

Ж С, ЛЖЛС

Категорические высказывания.

Имеется четыре типа так называемых категорических высказываний.

1. Общеутвердительные Asp (Axy):

Всякое S есть P.

Аналог на языке предикатов x ( S(x)P(x) )

S P S, P

SP = 0 - интерпретация на множествах

2. Общеотрицательные Esp (Exy):

Не одно S не есть P.

Аналог на языке предикатов x ( S(x)¬P(x) )

S P

SP = 0 - интерпретация на множествах

3. Частично-утвердительные Isp (Ixy):

Некоторые S есть P.

Аналог на языке предикатов x ( S(x)&P(x) )

S P S P S P S P

S P0 - интерпретация на множествах

4. : Частное отрицание Osp (Oxy)

Некоторые S не есть P.

Аналог на языке предикатов x ( S(x)¬P(x) )

S P0 - интерпретация на множествах

Соотношения высказываний можно представить в виде логического квадрата.

Axy противоречивые Exy

с

л

е

д

с

т

в

и

е

 

с

л

е

д

с

т

в

и

е

Ixy антипротиворечивые Oxy

Модус- структура умозаключения, которая определяет его истинность.

Модусы непосредственного заключения

Всего таких модусов 32. Вот некоторые из них.

Axy Axy истинно AxyAyx ложно

Axy Exy ложно

Axy Ixy истинно

Axy Oxy ложно

Exy Oxy истинно ЕхуОух истинно

Oxy Oxy истинно OxyOyx ложно

Категорические силлогизмы.

Всего категорических силлогизмов - 256.

Axy AzyAzx

Exy AyzOzx

………………….