Курсовые / много всякого / 7 Группы и полугруппы
.doc7 Группы и полугруппы
Определение 24 (Полугруппа). Алгебра <A; * > называется полугруппой, если операция * удовлетворяет свойству ассоциативности: для любых элементов a, b, c A выполняется: a * (b * c) = (a * b) * c.
Определение 25 (Моноид).
Алгебра <A; *, 1 > называется моноидом, если операция * удовлетворяет свойству ассоциативности, а 1 – единичный элемент относительно операции *: т.е. для любого элемента a A выполняется 1 * a = a * 1 = a.
Пример 14 (моноид).
Покажем, что множество всех последовательностей символов a, b, c, ... (включая пустую последовательность) с операцией конкатенации (приписывания слов) и с пустой последовательностью в качестве единичного элемента является моноидом. Действительно: данное множество замкнуто относительно операции конкатенации; операция конкатенации очевидно ассоциативна; пустое слово является единицей относительно операции конкатенации: приписывание пустого слова не меняет исходного слова.
Множество всех таких последовательностей называется множеством слов в алфавите {a, b, c, ...}.
Теорема 4 (Представление конечных моноидов). Любой конечный моноид изоморфен моноиду, носителем которого является множество отображений некоторого конечного множества в себя, операцией * – композиция отображений, а 1 – тождественное отображение.
Определение 26 (Группа).
Алгебра <A; *, -1, 1 > называется группой, если операция * удовлетворяет свойству ассоциативности, 1 – единичный элемент относительно операции *, а -1 – унарная операция, дающая обратный элемент относительно операции *, т.е. для любого элемента a A выполняется: a * a-1 = a-1 * a = 1.
Теорема 5 (Представление конечных групп). Любая конечная группа изоморфна некоторой группе, носителем которой является множество подстановок, операцией * – произведение подстановок, 1 – тождественная подстановка, операцией -1 – обратная подстановка.