1.8.3. Алгебраическое представление решеток. Булевы решетки

Введем обозначения Sup(a, b) = a b, Inf(a, b) = ab ,

Будем считать традиционно используемые здесь значки ,не имеющими никакого отношения к теоретико-множественным операциям объединения и пересечения.

Если выполняются законы :

1. a b = ba 1’. ab = ba

2. (a b)c = (bc)a = abc 2’. (ab)c = (bc)a = abc

3. a (ab) = a 3’. а(ba) = a

4. a a = a 4’. аa = a

то имеет место решетка.

То есть решетка можно определить как алгебру Z = < L, ,> , для операций которой выполняются вышеперечисленные законы.

Решетка называется дистрибутивной, если дополнительно к вышеперечисленным выполняется дистрибутивный закон:

5. a bc = (ab)(ac) 5'. а(bc) = abac

Пример : Недистрибутивная решетка:

abe = (ab)(ae)

а e = aa

a = a

b cd = bcbd

b e = aa

b a недистрибутивность

Эта решетка недистрибутивная.

Решетка называется ограниченной, если она имеет максимальный и минимальный элементы.

Например, если взять отрезок действительной оси от 0 до 1 (вместе с конечными точками) и отношение "меньше", то это будет ограниченная решетка. Убрав крайние точки, получаем неограниченную решетку.

1 1

- неограниченная решетка - ограниченная

(без 1 и 0)

0 0

Обычно минимальный элемент решетки обозначают как 0, а максимальный как 1.

ā- дополнениеа, если аā = 1 и аā =0

Решетка является решеткой с дополнением, если каждый элемент имеет хотя бы одно дополнение.

Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнением является булевой.

Примеры булевых решеток:

2ⁿ

1.8.4. Подрешетки

Пусть даны две решетки:  = <L,,> и  = <N,,>, тогда -подрешеткарешетки, если NL и n₁N, n₂ N, то n₁n₂N и n₁n₂N.

Если = <I,,> - подрешетка решетки, и из iI, lL следует ilI,

то называетсяидеалом.

Если = <F,,> - подрешетка решетки, и из fF, lL следует ilI,

то называетсяфильтром.

1.8.5. Морфизмы решеток

негомоморфное гомоморфное

гомоморфные

1.9. Мощность множества

Обозначения:

N - множество натуральных чисел.

Z -множество целых чисел.

Q- множество рациональных чисел.

R - множество целых чисел.

С- множество комплексных чисел.

1.9.1.Понятие мощности

Г. Кантор понимал мощность, как двойную абстракцию. Мы абстрагируемся от конкретных элементов множества и от порядка, в котором они расположены. То, что в результате остается и есть мощность. Мощности можно сравнивать на больше, меньше, равно.

N - мощность множества N.

1.9.2.Аксиоматика Пеано

Наименьшей бесконечной мощностью является счетная мощность- мощность множества натуральных чисел. Это бесконечное множество можно задать с помощью системы аксиом:

1. 0 N

2. n Nn^’N

3. n Nn^’0

4. n N, mN, n^’ = m^’n = m

}

5

A = N

. 0AN

n An^’ A

где n^’- элемент, следующий за n .

N = ₀(алеф-нуль) - счетная мощность.

1.9.3.Сравнение мощностей

1. Сравним мощность множества N и мощность множества целых четных положительных чисел:

1 2 3 4 5 …

2 4 6 8 10 …

то есть можно между этими множествами установить взаимно-однозначное соответствие. Это будет множество пар вида < n, 2n >.

2. Сравним мощность множества N и множества Z.

1 2 3 4 5 6 …

0 1 -1 2 -2 3 …

Здесь также имееть место взаимно-однозначное соответствие. То есть эти множества равномощны.

3. Сравним мощность множества N и множества Q.

01-12-23-3 ...

11 1 1 1 1 1

01-12-23-3... В эту сетку попадут все рациональные числа.

22 2 2 2 2 2



01-12-23-3...

3 3 3 3 3 3 3

.

.

.

Мощность Q также равна мощности N.