2.5.Метод резолюций

Метод предложен Дж. Робинсоном в 1965 году.

Метод резолюций - аксиоматическая теория первого порядка, которая использует доказательство от противного, и, следовательно, не использует аксиоматику исчисления предикатов (которая находится в области тождественно истинных формул).

1. Язык метода резолюции - язык дизъюнктов:

2. Аксиомы только собственные.

3. Правило вывода - резолюция

Важное замечание.Доказательство корректности метода резолюции Дж. Робинсон выполнил с привлечением теории моделей, раздела математической логики, который в данном курсе не рассматривается. Поэтому мы воспользуемся "правдоподобными" рассуждениями, которыми изобиловали первые книги по языку Пролог (Prolog). А язык Пролог (Программирование с помощью Логики) - язык , основной представитель класс языковлогического программирования, базируется как раз на методе резолюции!

Правило вывода резолюция использует расширенный принцип силлогизма и унификацию.

Традиционный силлогизм: A B, BCAC

Применительно к дизъюнктивной записи можно представить как

¬AB¬AB¬D

¬BC или "обобщенный" вариант¬BCE

¬AC¬AC¬DE

Унификация:

Унификация также не противоречит здравому смыслу. Она позволяет заменить переменную х на терм t. То есть вместо переменной могут быть подставлены константа или другая переменная (из той же области), или функция, область значений которой совпадает с областью определения х.

a(const)xy(из той же области)



f(z)

Вывод здесь заключается в том, что в систему добавляется отрицание формулы (дизъюнкта!), которую необходимо вывести. Вывод состоит в последовательном применении резолюции до получения пустого дизъюнкта . Это будет, с точки зрения интерпретации, означать, что не существует никакой модели («мира»), в которой бы была справедлива исходная система законов (дизъюнктов). А коль скоро доказательство выполняется методом от противного, то значит первоначальная формула (дизъюнкт) действительно выводима (и, значит, справедлива) в данной теории.

Пример 1 :Можно сказать, что это прообраз или предельно упрощенный вариант «системы искусственного интеллекта».

Пусть мир описывается двумя аксиомами:

Миша повсюду ходит за Леной А1.x(B(Л, x)B(M, x))

Лена в школе А2.B(Л, Ш)

Требуется доказать (ответить на вопрос)

Где Миша? А3. х B(M, x) ?

Вопрос (доказываемую формулу с добавленным знаком вопроса) х B(M, x)?

преобразуем в .¬х B(M, x) (отрицание вопроса). Далее

задвигаем отрицание за квантор, производим сколемизацию и

добавляем специальный «предикат ответа», который будет аккумулировать процесс унификации). В результате получаем дизъюнкт:

.¬B(M, x)Отв(М, x)

Вся система (две аксиомы и вопрос) будет состоять из трех дизъюнктов:

Д1: ¬B(Л, x)B(M, x)

Д2:B(Л, Ш)

Д3: ¬B(M, x)Отв(M, x)

Вывод:

Резолюция Д1-Д2 дает Д4: B(M,Ш)

Резолюция Д4-Д3 дает Д5: Отв(M,Ш)

То есть. предикат ответа (при получении пустого дизъюнкта) можно интерпретировать как «Миша в школе».(Интерпретация ответа в системе искусственного интеллекта остается за человеком).

Пример 2:

1. Если х является родителем y и y является родителем z, то х является прародителем z.

А1. xyz(P(x, y) & P(y, z)(x, z)

2. Каждый человек имеет своего родителя.

A2. yxP(x, y)

3. Существуют ли такие х и у , что х является прародителем у ?

xy(x, y) ?

Преобразуем аксиомы в дизъюнкты.

Д1. Р(х, у)Р(у, z)(x, z)

Д2. P(f(y), y)

Д3.(x, y)Отв(x, y)

Д1 - Д2: Д4: Р(у, z)( f(y), z)

Д4 – Д2: Д5: (f(f(y)), y)

Д5 – Д3: Д6: (f(f(х)), х)

Заметим, что каждая переменная имеет уникальное имя в пределах одного дизъюнкта. Переменные, названные одинаково в разных дизъюнктах - это разные переменные. Интерпретация результата лежит на человеке. Будем интерпретировать

f(х)- как быть родителем х. То есть f(f(х) -родитель родителя х. Следовательно,(f(f(х)), х) –прародитель х - это родитель родителя х.