Курсовые / много всякого / Эйлеровы пути в графах

Эйлеровы пути

Эйлеровым путем в графе называется произвольный путь, проходящий через каждое ребро графа в точности один раз, т.е. путь v₁, ..., v_m+1, такой что каждое ребро e E появляется в последовательности v₁, ..., v_m+1 в точности один раз как e = {v_i, v_i+1} для некоторого i.

Если v₁ = v_m+1, то такой путь называется эйлеровым циклом. Задача существования эйлерова пути в заданном графе была решена Эйлером в 1736 году, и представленное им необходимое и достаточное условие существования такого пути считается первой в истории теоремой теории графов.  Теорема. Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и содержит не более чем две вершины нечетной степени.  

Доказательство. Доказательство достаточности условия теоремы будет следствием анализа алгоритма нахождения эйлерова пути, который будет описан ниже. Необходимость условия очевидна, так как если вершина v, отличная от вершины v₁ и v_m+1, появляется в эйлеровом пути k раз, то это означает, что степень этой вершины в графе составляет 2k. Отсюда следует, что вершины нечетной степени, если они существуют, являются концами эйлерова пути. Здесь следует отметить, что не существует графов с одной только вершиной нечетной степени. Действительно, обозначая степень вершины v через d(v), имеем

ибо в указанной сумме каждое ребро {u, v} считается дважды: один раз в d(u) и один раз в d(v). Отсюда следует, что число вершин всегда четно.

Если в связном графе нет вершин нечетной степени, то каждый эйлеров путь является циклом, так как концы эйлерова пути, не являющегося циклом, всегда вершины нечетной степени.

Предположим, что u и v - единственные вершины нечетной степени связного графа G =  V, E, и образуем граф G* добавлением дополнительной вершины t и ребер {u, t} и {v, t} (или просто {u, v}, если {u, v}E ). Тогда G* - связный граф без вершин нечетной степени, а эйлеровы пути в G будут в очевидном взаимно однозначном соответствии с эйлеровыми циклами в G

Пример гамильтонова пути в графе и графа, в котором такого пути не существует, показан на рис. (а), (б) соответственно.