2.1.4.Формы представления высказываний
1. Форма А1 А2 ...Аn, где Аi,- элементарное высказывание или отрицание элементарного высказывания (литерал), называетсяэлементарной дизъюнкцией.
2. Форма B1 B2 ...Bn, где Bi- литерал, называетсяэлементарной конъюнкцией.
3. Форма D1 D2 ...Dn, где Dj- элементарная дизъюнкция, называетсяконъюнктивной нормальной формой (КНФ).
4. Форма K1 K2 ...Kn, где Kj- элементарная конъюнкция, называетсядизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).
Всегда истинное (на любых наборах значений входящих в него элементарных высказываний) сложное высказывание называется тавтологией.
Всегда ложное (на любых наборах значений входящих в него элементарных высказываний) высказывание называется противоречием.
Совершенной КНФ (СКНФ)называется такая КНФ, что каждая входящая в нее элементарная дизъюнкция содержит все элементарные высказывания прямо или с инверсией строго по одному разу. Нет повторяющихся дизъюнкций. Любое сложное высказывание, кроме тавтологии, имеет единственную СКНФ.
Совершенной ДНФ (СДНФ)называется такая ДНФ, что каждая входящая в нее элементарная конъюнкция содержит все элементарные высказывания прямо или с инверсией строго по одному разу. Нет повторяющихся конъюнкций. Любое сложное высказывание, кроме противоречия, имеет единственную СДНФ.
2.1.5.Преобразование высказываний
Сложное высказывание, представленное в произвольном виде с помощью равносильностей с 11 по 16, а также с использованием законов Де Моргана могут быть преобразованы к нормальной форме.
Преобразование КНФ в СКНФ.
Схематично основную идею преобразования можно представить так:
X Y≡XY0≡XYZZ≡(XYZ)(XYZ)
Преобразование ДНФ в СДНФ.
Схематично основную идею преобразования можно представить так:
XY≡XY1≡XY(ZZ)≡XYZXYZ
Преобразование СДНФ в СКНФ и наоборот.
Рассмотрим на примере:
Возьмем логическую функцию f (сложное высказывание) в СДНФ и построим отрицание этой функции, т.е. функцию f, путем выписывания всех конституент единицы, не входящих в f.
Примеры:
Пусть f имеет вид
f=X1X2X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3
3 5 6 7
(мнемонический прием – приписать конституентам числа, которые получаются, если посмотреть на конституенты как на двоичные числа)
Отрицание функци f получим выписыванием недостающих конституент (недостающих двоичных чисел).
f
=X1X2X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3
0 1 2 4
А
теперь применим отрицание к функции f.
f = X1X2X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3≡
≡ (X1X2X3)(X1X2X3)(X1X2X3)(X1X2X3)
– СКНФ (функции f).
Пример 2:
f
=XYZXYZXYZXYZXYZXYZ
2 7 0 5 4 3
f
=
XYZXYZ≡(XYZ)(XYZ)
6 1
Переход от СКНФ к СДНФ.
Возьмем логическую функцию f в СКНФ и построим отрицание этой функции, т.е. функцию f, путем выписывания всех конституент нуля, не входящих в f.
Пусть f имеет вид
f=(XYZ)(XYZ)
f=(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)≡
≡XYZXYZXYZXYZXYZXYZ