5.1. Понятие группы

Группу можно задать как алгебру с одной операцией , удовлетворяющей следующим законам:

1. Существование операции.

xyz(x  y = z)

2. Ассоциативность

xyz(x  (y  z)) = ((x  y)  z)

3. Существование единицы (е)

еy(е  y = y)

4. Существование обратного элемента.

x!y(x  y = е)

5. Коммутативность

xy (x  y = y  x)

Выполнение лишь первого закона дает группоид. Если дополнительно выполняется второй – полугруппа (популярна при исследовании свойств формальных грамматик).

Выполнение первого, второго и третьего законов дает моноид.

Выполнение аксиом с первой по четвертую дает группу.

Если для группы выполняется также коммутативный закон, то группа называется абелевой.

5.2. Морфизмы групп

Рассмотрим вращения квадрата вокруг центра до совмещения вершин.

4 3

a₁ = 0⁰ В качестве элементов – углы поворота.

a₂ = 90⁰ В качестве операции - доворачивание.

a₃ = 180⁰ Выполняются все законы для группы.

a₄ = 270⁰

1 2

Например, а₁  а₂ = а₂; а₂  а₂ = а₃; а₃  а₃ = а₁

Популярны со времен Галуа и так называемые подстановки. Можно записать подстановки, соответствующие каждому из четырех вращений предыдущего примера:

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

       

1 2 3 4 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1

А в качестве операции взять композицию подстановок. Например,

=

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

     

2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2

В результате также получится группа.

Возьмем корни уравнения x⁴ – 1 = 0

{1, i, -1, -i} - группа по операции умножения.

Таким образом, мы рассмотрели несколько конечных групп, содержащих по четыре элемента. Эти группы изоморфны между собой.

Например, можно отобразить друг в друга «единичные» элементы:

1 2 3 4

а₁  0⁰     1

1 2 3 4

Так что речь может идти об абстрактных группах, то есть о таких группах, для которых конкретное множество и конкретная операция несущественны.

Пусть f - некоторое отображение элементов одной группы в другую или в ту же самую и

f (a  b) = f(a)  f(b) a,b  G; f(a), f(b)  b₂.

то говорят, что f - гомоморфизм.

Если f(a)=F(b), тогда и только тогда, когда a = b, то имеем изоморфизм (однозначный гомоморфизм).

Гомоморфизм группы в себя называется эндоморфизмом.

Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом.

Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.

Изоморфизм в себя называется автоморфизмом.

П ример : { . . .-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }

{ . . .-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . . } - эндоморфизм, эпиморфизм, мономорфизм, изоморфизм, автоморфизм.