Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
43
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
976.9 Кб
Скачать

4.7.Задача о 4 красках

Это одна из самых знаменитых задач теории графов и математики вообще.

Достаточно ли четырех красок для раскраски любой политической карты мира так, чтобы два государства, имеющие общую границу, были раскрашены в разные цвета?

В качестве иллюстрации можно взять произвольную "карту". Для облегчения анализа представим государства в виде вершин графа. "Раскраску" отобразим цифрами.

Дуги будут говорить о наличии общих границ. Не должно быть дуг, соединяющих вершины с одинаковыми цифрами.

1 2 1

1 2 1

3

3

2

1 1 4 2 1 4

1

Так что задачу можно переформулировать так:

Сколько необходимо красок в планарном графе, чтобы любые две смежные вершины были раскрашены различными цветами?

Теорема:Трех красок мало.

1

Пример доказывает, что 3-х красок мало

4

2 3

Теорема:Для раскраски любого планарного графа достаточно 5-ти красок

Доказательство:

1) Для любого планарного графа с n<=5 теорема справедлива.

2) Пусть любой планарный граф с n вершинами 5-раскрашиваемый.

Докажем справедливость этого и для графа с n+1 вершинами, опираясь на доказанный факт, что в любом плоском графе имеется хотя бы одна вершина степени не выше пяти.Объявим такую вершину n+1-ой.

Если эта вершина имеет степень не больше четырех , то 5 красок хватит. Но если степень пять, то из 1-ой вершины строим все возможные цепи , где чередуются вершины 1 и 3 :

Здесь возможны два случая:

1). Ни одна из цепей не замкнулась на третью вершину. Тогда меняем цветами все 1-ые и 3-ие вершины и n+1 -ю вершину красим в 3-ий цвет ;

3 3

1 3

1 3

2

5

1

3

4

n

2.) Одна из цепочек замкнулась на 3, тогда из вершины с номером 2 строим цепь 2-4. Ни одна из этих цепей не замкнется на 4-ю вершину (т.к. граф планарный!). Меняем цвета 2 и 4 в этой цепи. И красим n+1-ю вершину в цвет 2.

Таким образом, то, что пяти красок достаточно, доказано.

Возвращаясь к четырем краскам следует сказать, что американскими математиками была доказана теорема, о том, что четырех красок достаточно. Однако,в этом доказательстве есть шаги, связанные с очень большими переборами вариантов, выполненные с использованием компьютера (пойди проверь). Так что с точки зрения «пуританской» математики можно считать, что теорема пока не доказана…

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке много всякого