4.7.Задача о 4 красках
Это одна из самых знаменитых задач теории графов и математики вообще.
Достаточно ли четырех красок для раскраски любой политической карты мира так, чтобы два государства, имеющие общую границу, были раскрашены в разные цвета?
В качестве иллюстрации можно взять произвольную "карту". Для облегчения анализа представим государства в виде вершин графа. "Раскраску" отобразим цифрами.
Дуги будут говорить о наличии общих границ. Не должно быть дуг, соединяющих вершины с одинаковыми цифрами.
1 2 1
1 2 1
3
3
2
1 1 4
2 1 4
1
Так что задачу можно переформулировать так:
Сколько необходимо красок в планарном графе, чтобы любые две смежные вершины были раскрашены различными цветами?
Теорема:Трех красок мало.
1
Пример доказывает, что 3-х красок мало
4
2 3
Теорема:Для раскраски любого планарного графа достаточно 5-ти красок
Доказательство:
1) Для любого планарного графа с n<=5 теорема справедлива.
2) Пусть любой планарный граф с n вершинами 5-раскрашиваемый.
Докажем справедливость этого и для графа с n+1 вершинами, опираясь на доказанный факт, что в любом плоском графе имеется хотя бы одна вершина степени не выше пяти.Объявим такую вершину n+1-ой.
Если эта вершина имеет степень не
больше четырех , то 5 красок хватит. Но
если степень пять, то из 1-ой вершины
строим все возможные цепи , где чередуются
вершины 1 и 3 :
Здесь возможны два случая:
1). Ни одна из цепей не замкнулась на
третью вершину. Тогда меняем цветами
все 1-ые и 3-ие вершины и n+1 -ю вершину
красим в 3-ий цвет ;
3 3
1 3
1 3
2
5
1
3
4
n
2.) Одна из цепочек замкнулась на 3, тогда из вершины с номером 2 строим цепь 2-4. Ни одна из этих цепей не замкнется на 4-ю вершину (т.к. граф планарный!). Меняем цвета 2 и 4 в этой цепи. И красим n+1-ю вершину в цвет 2.
Таким образом, то, что пяти красок достаточно, доказано.
Возвращаясь к четырем краскам следует сказать, что американскими математиками была доказана теорема, о том, что четырех красок достаточно. Однако,в этом доказательстве есть шаги, связанные с очень большими переборами вариантов, выполненные с использованием компьютера (пойди проверь). Так что с точки зрения «пуританской» математики можно считать, что теорема пока не доказана…