Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
34
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
976.9 Кб
Скачать

4.12.Клика

Клика - максимально большой полный подграф данного графа.

a

f b

e c

d

a

b

c

d

e

f

a

1

1

b

1

1

1

c

1

1

d

1

1

e

1

f

a

b

c

d

e

f

a

1

1

1

b

1

c

1

d

e

f

Построение Клики.

  1. Строим дополнительный граф исходного графа.

G a

f b

e c

d

2. Найдем множество внутренней устойчивости для графа G.

(a d)(ae)(af)(bc)(cd)

(a de)(af)(cbd)

(a def)(cbd)

ac cdefbdefabd

{b, d, e, f}, {c, e, f}, {a, b}, {a, c}

3. Множества полученных вершин дают всевозможные полные подграфы исходного графа G. Причем, максимальный из подграфов дает клику.

5. Теория групп

Теория групп лежит в основе современной алгебры. Начала ее были созданы молодым гениальным математиком Э. Галуа (1811-1832) как инструмент для оценки возможности решения уравнений высших степеней в радикалах. Однако сфера применения и область интерпретации теории групп с тех пор многократно расширилась. Одна из самых значителных интерпретаций для групп – это различные типы симметрии.

5.1.Понятие группы

Группу можно задать как алгебру с одной операцией , удовлетворяющей следующим законам:

1. Существование операции.

xyz(xy = z)

  1. Ассоциативность

xyz(x (yz)) = ((xy)z)

  1. Существование единицы (е)

еy(еy = y)

4. Существование обратного элемента.

x!y(xy = е)

5. Коммутативность

xy (x y = yx)

Выполнение лишь первого закона дает группоид. Если дополнительно выполняется второй –полугруппа (популярна при исследовании свойств формальных грамматик).

Выполнение первого, второго и третьего законов дает моноид.

Выполнение аксиом с первой по четвертую дает группу.

Если для группы выполняется также коммутативный закон, то группа называется абелевой.

5.2.Морфизмы групп

Рассмотрим вращения квадрата вокруг центра до совмещения вершин.

43

a1 = 00 В качестве элементов – углы поворота.

a2 = 900В качестве операции - доворачивание.

a3 = 1800Выполняются все законы для группы.

a4 = 2700

1 2

Например, а1 а2 = а2; а2а2= а3; а3а3= а1

Популярны со времен Галуа и так называемые подстановки. Можно записать подстановки, соответствующие каждому из четырех вращений предыдущего примера:

1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4

       

1 2 3 44 1 2 33 4 1 22 3 4 1

А в качестве операции взять композицию подстановок. Например,

=

1 2 3 41 2 3 41 2 3 4

     

2 3 4 12 3 4 13 4 1 2

В результате также получится группа.

Возьмем корни уравнения x4– 1 = 0

{1, i, -1, -i} - группа по операции умножения.

Таким образом, мы рассмотрели несколько конечных групп, содержащих по четыре элемента. Эти группы изоморфны между собой.

Например, можно отобразить друг в друга «единичные» элементы:

1 2 3 4

а100  1

1 2 3 4

Так что речь может идти об абстрактных группах, то есть о таких группах, для которых конкретное множество и конкретная операция несущественны.

Пусть f - некоторое отображение элементов одной группы в другую или в ту же самую и

f (a b) = f(a)f(b) a,bG; f(a), f(b)b2.

то говорят, что f - гомоморфизм.

Если f(a)=F(b), тогда и только тогда, когда a = b, то имеем изоморфизм (однозначный гомоморфизм).

Гомоморфизм группы в себя называется эндоморфизмом.

Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом.

Сюръективный гомоморфизм называетсяэпиморфизмом.

Изоморфизм в себя называется автоморфизмом.

Пример: { . . .-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }

{ . . .-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . . } - эндоморфизм, эпиморфизм, мономорфизм, изоморфизм, автоморфизм.

Соседние файлы в папке много всякого