1.9.3. Сравнение мощностей
1. Сравним мощность множества N и мощность множества целых четных положительных чисел:
1 2 3 4 5 …
2 4 6 8 10 …
то есть можно между этими множествами установить взаимно-однозначное соответствие. Это будет множество пар вида < n, 2n >.
2. Сравним мощность множества N и множества Z.
1 2 3 4 5 6 …
0 1 -1 2 -2 3 …
Здесь также имееть место взаимно-однозначное соответствие. То есть эти множества равномощны.
3. Сравним мощность множества N и множества Q.
0 1 -1 2 -2 3 -3 ...
1
1 1 1 1 1 1
0 1 -1 2 -2 3 -3 ... В эту сетку попадут все рациональные числа.
2 2 2 2 2 2 2
0 1 -1 2 -2 3 -3 ...
3 3 3 3 3 3 3
.
.
.
Мощность Q также равна мощности N.
1.9.4. Мощность множества r. Теорема Кантора
Аналогом мощности действительных (вещественных) чисел служит множество точек
на отрезке действительной оси или на всей действительной оси.
Равномощность различных отрезков, а также отрезка и всей прямой показаны на рисунках.
Теорема Кантора.
N < R (0 < 1)
Доказательство.
1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем рассматривать отрезок между 0 и 1. Числа будут представляться в виде бесконечных десятичных дробей. Конечные дроби для однозначности будут заменяться своими бесконечными аналогами. Например, 0.45 = 0.4499999…
Допустим, что каким-то образом установлено взаимно-однозначное соответствие между числами отрезка от 0 до 1 и множеством N.
0, а11, а21, а31 ......
0, а12,а22, а32 ......
0, а13,а23,а33 ...
.
Но здесь отсутствует число 0, b1, b2, b3 ... где a11 b1, b2 a22 ... bn ann
Следовательно, предположение о возможности «пересчитать» множество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 неверно. Действительных чисел больше.
Мощность множества действительных чисел 1 называется мощностью континуума.
1.9.5. Арифметика бесконечного
Бесконечных мощностей бесконечно много: 0 < 1 < 2 < 3 < …
0 - самая маленькая бесконечная мощность.
0 + A = 0 1 - 0 = 1
0 + 0 = 0 0 - A = 0
1 + 1 = 1 0 - 0 = 0
1 + 1 = 1 0 - 1 = 1
1.9.6. Противопоставление системного и теоретико-множественного подходов
1. Системы, как и множества, состоят из элементов.
Теория систем исходит из первичности системы, в то время как теоретико-множественный подход считает, что первичен элемент.
2. Естественность системы (в ней нет случайных элементов) и "неразборчивость" множества.
3. Абстракция отождествления для множеств и априорная организация систем.
4. Системам присуща внутренняя организация, множествам - внешняя.
2. Математическая логика
2.1. Логика высказываний
Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение,
относительно которого можно сказать - истинно оно или ложно.
Высказываниями не являются определения, восклицательные и вопросительные предложения, а также логические парадоксы.
Определение: Угол в 90 градусов называется прямым углом.
Восклицание: Смирно!
Вопрос: Кто сказал "мяу"?
Парадокс лжеца: "Я лгу".
Если это высказывание ложь, то я говорю правду.
Но если я говорю правду, то я действительно лгу.
Высказывания будем обозначать отдельными буквами.
Более строго их можно называть элементарными высказываниями.
Главный содержательный парадокс логики высказываний состоит в том, что она не интересуется смыслом высказываний. По образному сравнению логика Клини в математической логике на высказывания смотрят через «рентген», который отбрасывает их содержательный смысл и оставляет только "скелет" высказывания - его истинность.
Истинность может принимать два значения
истинно ложно
и л
true false
t f
но самые популярные обозначения
0
которые не следует путать с числами двоичной арифметики.