1.2.Операции над множествами

1. Объединениемножеств A и B

A B = { x|xA или xB } (или -неисключающее)

2. Пересечениемножеств A и B

A B = { x | xA и xB }

3. Разностьмножеств A и B

A \ B = { x | x A и xB }

4. Симметрическая разностьмножеств A и B

A B = { x | (xA и xB) или (xA и xB)}=( A \ B )( B \ A )

5.Дополнение множества A

A= { x | xA }

Пример.

Пусть А = {1, 2, 3} и B = {3,4}, тогда

A B = {1, 2, 3, 4}

A B = {3}

A \ B = {1, 2}

A B = {1, 2, 4}

А= множество чисел кроме 1, 2, 3.

1.3.Диаграммы Эйлера - Венна

Диаграммы Эйлера-Венна позволяют представить множества, как множества точек на плоскости, оганиченные замкнутыми кривыми круглой или овальной формы. Прямоугольная рамка ограничивает универсум. Обычно, если не требуется иное, рисуют так называемый общий случай: когда каждое из множеств имеет свои собственные точки и точки, общие с другими множествами.

U

II

III

I

A

B

AB – зоны I, II, III.

AB – зона III.

A\B - зона I.

A - все, кроме круга А.

AB - зоны I, III.

Диаграмма для общего случая c тремя множествами будет иметь вид:

U

A B

C

Построение диаграммы Эйлера-Венна для общего случая с четырьмя и более множествами можно предложить для самостоятельных развлечений.

1.4. Алгебра множеств

Операции над множествами дают в результате новые множества.

Для операций справедлив ряд законов. Приведем наиболее часто используемые.

Для упрощения записи, уменьшения числа скобок, определяющих последовательность операций, можно использовать соглашение о "силе" операций (в порядке убывания): дополнение, пересечение, объединение.

Остальные операции можно выразить через эти три.

Законы:

1. Коммутативный:

AB = BA AB = BA

2. Ассоциативный:

A (BC) = (AB)C = ABC A(BC) = (AB)C = ABС

3. Дистрибутивный:

A (BС)= (AB)(AC) A(BС) = (AB)(AC)

4. Поглощения:

A (AB) = A A(AB) = A

5. Идемпотентности:

A A = A AA = A

6. Исключенного третьего: Противоречия:

AA = U AA =

7. A = A A=

8. A U = U AU = A

9. Де Моргана:

____ ___

AB = AB AB = AB

10.= U U =

11. Двойного отрицания: A = A

12. A \ B =A B

13. AB =ABAB

Пример доказательства варианта дистрибутивного закона:

A (BС) = (AB)(AC)

I. Докажем, что левая часть включена в правую:

A (BC)(AB)(AC)

Пусть х А(ВС), тогда у х есть две возможности

1. х A . Тогда хAB и хACх(AB)(AC).

2. х BC. Тогда хB и хCхAB и хAC,

то есть х (AB)(AC).

II. Докажем, что правая часть включена в левую:

(A B)(AC)ABC.

Пусть х AB и хAC. Тогда возможны два варианта:

1. х AхABC

2. х B и хCхBCхABC.

То есть левое и правое множества равны.