4.4.Деревья

Дерево - это связный граф без циклов. Можно дать другое определение дерева или вывести его из первого. Дерево – это граф, между любой парой вершин которого существует единственная цепь.

Теорема:В графе типа дерева с n вершинами n-1 ребер.

Доказательство. Для графа, состоящего лишь из одной вершины, это соотношение выполняется. Пусть оно выполняется и для графа с n-1 вершинами, тогда добавление новой дуги приводит к добавлению и одной вершины, что сохраняет соотношение.

Примеры деревьев.

Лесом называется граф, состоящий из нескольких компонент связности, каждая из которых является деревом.

Диаметром для графов типа дерева является максимальное расстояние между его вершинами.

. Определим для каждой вершины ее расстояние от самого удаленного листа Минимальное число - радиус, эта вершина корневая (центральная).

В любом дереве существует одна или две (смежные) корневые вершины

4 4

4

4

2 3

-Диаметр 4.

3 3 4 4

4 3 3 4

Диаметр: 5

Радиус : 3

5 5 4 4 4 4 5 5

4.5.Алгоритм Краскала

Пусть дан полный граф. Ребрам приписаны штрафы. На основе этого графа строят дерево, имеющее минимальный суммарный штраф.

Для этого на каждом шаге выбирают ребро, имеющее минимальный штраф и не образующее цикл с уже выбранными ребрами.

.

Пример.

2 3 5 5

6

4 4 8 6

6

Жирными линиями выделено минимальное дерево

Теорема Кэли для раскрашенных деревьев.

Для n вершин существует n^n-2различных помеченных деревьев.

Например, существует 16 различных деревьев с четырьмя вершинами.

1 2 3 4

4 3 2 1

4 вершины 4^{4 - 2} = 16 различных помеченных деревьев

1 2 3

4

4.6.Планарные графы

Граф - плоский, если он изображен на плоскости без пересечения ребер.

Граф - планарный, если он может быть изображен на плоскости без пересечения ребер.

Любой плоский граф может быть преобразован в граф с прямыми ребрами.

 

неплоский, но плоский плоский с

планарный прямыми ребрами

Граф, где все вершины соприкасаются с внешней гранью - внешнепланарный.

Два "замечательных" непланарных графа:

К₅К_3,3

Приведем без доказательства две теоремы:

Любой граф, содержащий в качестве подграфа К₅или К_3,3- непланарен.

Два графа гомеоморфныесли они тождественны с точностью до вершин со степенью=2.

Любой граф, содержащий в качестве подграфа граф гомеоморфный К₅или К_3,3или - непланарен.

Теорема (Эйлера для планарных графов):

В любом планарном графе

В + Г = Р + 2.

где: В - число вершин

Г - число граней

Р - число ребер

Доказательство:

1 + 1 = 0 + 2

2 + 1 = 1 + 2

3 + 2 = 3 + 2

4 + 2 = 4 + 2

Пусть есть граф с n вершинами, для которого это соотношение верно.

Добавление ребра приводит к увеличению на едитницу либо числа граней, либо вершин.