- •Пермский Государственный Технический Университет
- •Введение
- •1. Теория множеств
- •1.1 Понятие множества
- •1.2.Операции над множествами
- •1.3.Диаграммы Эйлера - Венна
- •1.4. Алгебра множеств
- •1.5. Кортеж. График
- •1.6. Соответствия
- •2 3 4 5
- •1.7. Отношения
- •1.7.1 Отношение эквивалентности
- •1.7.2.Отношения порядка
- •1.7.3. Морфизмы
- •1.8. Решетки
- •1.8.1. Диаграммы Хассе
- •1.8.2. Понятие решетки
- •1.8.3. Алгебраическое представление решеток. Булевы решетки
- •1.8.4. Подрешетки
- •1.9.4.Мощность множества r. Теорема Кантора
- •1.9.5. Арифметика бесконечного
- •2.1.1.Операции над высказываниями
- •2.1.2.Построение и анализ сложных высказываний
- •2.1.3.Алгебра высказываний
- •2.1.4.Формы представления высказываний
- •2.1.5.Преобразование высказываний
- •2.1.6.Минимизация высказываний методом Квайна
- •2.1.7.Минимизация с помощью карт Вейча
- •2.1.8.Функциональная полнота
- •2.2.Логика предикатов
- •2.2.1.Основные равносильности для предикатов
- •2.2.2.Получение дизъюнктов
- •2.3.Аксиоматические теории
- •2.3.1.Аксиоматическая теория исчисления высказываний
- •2.3.2.Непротиворечивость и полнота аксиоматической теории исчисления высказываний
- •2.4.Аксиоматические теории первого порядка
- •2.5.Метод резолюций
- •2.6.Система Генцена
- •2.7.Система Аристотеля
- •2.8. Примеры неклассических логик
- •3. Теория Автоматов
- •3.1.Понятие автомата
- •Законы функционирования автоматов
- •3.2.Примеры автоматов
- •3.3.Минимизация автоматов
- •3.4.Особенности минимизации автомата Мура
- •3.5.Переход от автомата Мура к автомату Мили и наоборот
- •4.Теория графов
- •4.1. Понятие графа
- •4.2.Теорема Эйлера
- •4.3.Полные графы и деревья
- •4.4.Деревья
- •4.5.Алгоритм Краскала
- •4.6.Планарные графы
- •4.7.Задача о 4 красках
- •4.8.Определение путей в графе
- •4.9.Приведение графа к ярусно-параллельной форме
- •4.10.Внутренняя устойчивость графа
- •4.11.Множество внешней устойчивости. Ядро графа
- •4.12.Клика
- •5. Теория групп
- •5.1.Понятие группы
- •5.2.Морфизмы групп
- •5.3.Инвариантные (нормальные) подгруппы
- •5.4.Группа Диэдра (d3)
- •5.5.Смежные классы
- •5.6.Фактор-группы
- •5.7.Группа Клейна четвертой степени
- •6. Теория алгоритмов
- •6.1.Понятие алгоритма
- •6.2.Конкретизация понятия алгоритма
- •6.3.Сложность вычислений
- •6.4.Машины Тьюринга
- •6.5.Нормальные алгорифмы Маркова
- •6.6.Рекурсивные функции
- •6.7.-Исчисление
- •7.Формальные грамматики
- •7.1. Понятие формальной грамматики
- •7.2.Деревья вывода
- •7.3.Классификация языков по Хомскому
- •7.4.Распознающие автоматы
- •7.5.Понятие транслятора
- •7.6.Основные функции компилятора. Лексический анализ
- •7.7.Переход от недетерминированного распознающего автомата к детерминированному
- •7.8.Переход от праволинейной грамматики к автоматной
- •7.9.Lex
- •7.10.Детерминированные автоматы с магазинной памятью (мп-автоматы)
- •7.11.Транслирующие грамматики
- •7.12. Sи q - грамматики
- •7.13.Ll(1) - грамматики. (left - leftmost)
- •7.14.Метод рекурсивного спуска
- •7.15.Lr - грамматики (left - rightmost)
- •7.16.Функции предшествования
- •7.17.Атрибутные грамматики
- •7.18.Yacc
- •7.19.Область действия и передача параметров
- •7.20.Генерация выходного текста. Польская инверсная запись
- •7.21.Оптимизация программ
- •8. Функциональное программирование
- •9. Логическое программирование. Язык Пролог
- •10. Объектно-ориентированное программирование
- •Заключение
- •Литература
7.16.Функции предшествования
Этот интересный метод придумал Р.Флойд – автор многих остроумных решений в программировании. Вместо матрицы строятся две специальные функции f и g , такие что:
1. Если Si∙*> Sjf(Si) > g(Sj).
2. Если Si<* Sjf(Si) < g(Sj).
3. Если Si=* Sjf(Si) = g(Sj).
Тогда, вместо поиска с помощью матрицы отношения предшествования между символами, просто происходит сравнение числовых значений соответствующих функций на больше меньше равно.
Построение функций предшествования:
0. Строится матрица предшествования и начальные значения функций принимаются равными единице: f(Si) = g(Sj) = 1.
Матрица просматривается по строкам в поисках отношений ∙*> и, если
f(Si) > g(Sj), то идем дальше, если же Si*> Sj, а f(Si)≤g(Sj), то увеличиваем значение f(Si) - f(Si) = g(Sj) + 1.
Матрица просматривается по столбцам в поисках отношений <*∙и, если
f(Si) < g(Sj), то идем дальше, если же Si<* Sj, а f(Si)g(Sj), то увеличиваем значение g(Sj) - g(Sj) = f(Si) + 1.
3. Матрица просматривается в поисках отношений =* и, если f(Si) = g(Sj), то идем дальше, если Si =* Sj, а f(Si)g(Sj), то выравниваем значения функций путем увеличения меньшего из значений до большего - f(Si) = g(Sj) = max[f(Si), g(Sj) ].
4. Возвращение к первому пункту.
Повторять до тех пор, пока рост функций не прекратится (или когда значение одной из функций не превысит 2*n, где n - размерность матрицы - в этом случае алгоритм не сходится).
Пример.
На основе матрицы предшествования в соответствии с описанным алгоритмом построим функции предшествования.
Уточняемые значения функций будем располагать левее строк и выше столбцов с соответствующими символами.
5 4
4 3 2
2 3 2 1
1 1 1 1
g(Sj)
f(Si)
|
A |
B |
C |
D |
E |
A |
|
∙> |
<∙ |
∙> |
∙ |
B |
|
∙ |
|
|
|
C |
<∙ |
|
|
|
|
D |
∙> |
|
|
|
|
E |
|
∙ |
|
∙> |
|
3 2 1
1
4 3 1
6 5 3 2 1
2 1
В результате получим числовые значения (табличных) функций для всех символов.
|
A |
B |
C |
D |
E |
f |
3 |
2 |
4 |
6 |
2 |
g |
5 |
2 |
4 |
1 |
3 |
Однако, этот метод не свободен от недостатков:
1. Алгоритм не всегда сходится (не всегда приводит.к построению функций).
2. При переходе к функциям происходит «незаконное доопределение» матрицы. То есть как бы появляются отношения предшествования между парами символов, для которых в исходной матрице отношение отсутствовало.