algebra10_нелін_дворівн

§ 32. Логарифмічна функція, її властивості та графік

Приклад 4 Порівняйте додатні числа b і c, знаючи, що:

371

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Приклад 5 Порівняйте з одиницею додатне число a, знаючи, що loga 6 < 0.

1.Дайте означення логарифмічної функції.

2.Як розташовані графіки функцій у = ах та у = logа х (а > 0, а ≠ 1) відносно прямої у = х? Відповідь поясніть. Побудуйте ці графіки при а > 1 і при 0 < а < 1.

3.Користуючись графіком функції у = logа х (а > 0, а ≠ 1), охарактеризуйте її властивості.

4*. Обґрунтуйте властивості функції у = logа х (а > 0, а ≠ 1).

5. Враховуючи зростання або спадання відповідної логарифмічної функції,

порівняйте значення: а) log5 7 і log5 3; б) log1 7 і log1 3.

372

§ 33. Розв’язування логарифмічних рівнянь та нерівностей

§33 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ

33.1. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ

Т а б л и ц я 55

1. Основні означення та співвідношення

2. Розв’язування найпростіших логарифмічних рівнянь

373

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

374

§33. Розв’язування логарифмічних рівнянь та нерівностей

Пр о д о в ж. т а б л. 55

Рівносильні перетворення рівнянь в інших випадках

Пояснення й обґрунтування

1. Розв’язування найпростіших логарифмічних рівнянь. Найпростішим ло! гарифмічним рівнянням звичайно вважають рівняння loga x = c (a > 0 і a ≠ 1).

Логарифмічна функція зростає (або спадає) на всій своїй області визначен& ня, тобто при x > 0 (див. графіки в пункті 1 таблиці 55), і тому кожного свого значення набуває тільки при одному значенні аргументу. Враховуючи, що логарифмічна функція набуває всіх дійсних значень, рівняння

loga x = c (1) завжди має єдиний корінь, який можна записати, скориставшися означен&

ням логарифма: х = ас.

Якщо розглянути рівняння

і виконати заміну змінної: f (x) = t, то одержимо найпростіше логарифмічне рівняння loga t = c, яке має єдиний корінь t = ac. Виконуючи обернену заміну, одержуємо, що розв’язки рівняння (2) збігаються з розв’язками рівняння

Отже, рівняння (2) і (3) — рівносильні. Таким чином, ми обґрунтували, що для рівносильного перетворення найпростішого логарифмічного рівнян! ня (1) або рівняння (2) (яке ми теж будемо відносити до найпростіших за умови, що основа а — число) досить використати означення логарифма.

375

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Якщо позначити рівносильність рівнянь значком , то коротко цей резуль& тат можна записати так:

loga f (x) = c f (x) = ac .

Нагадаємо, що всі рівносильні перетворення рівняння виконуються на його області допустимих значень (ОДЗ). Для рівняння (2) ОДЗ задається умовою f (x) > 0. Але для всіх коренів рівняння (3) ця умова виконується автоматич& но (через те, що a > 0 ). Тому в явному вигляді ОДЗ для найпростіших лога! рифмічних рівнянь можна не записувати (оскільки вона враховується авто& матично при переході від рівняння (2) до рівняння (3)).

Наприклад, рівняння log5 (2x – 3) = 2 рівносильне рівнянню 2х – 3 = 52, корінь якого х = 14 і є коренем заданого рівняння.

Аналогічно записано і розв’язання найпростішого рівняння log3 (x – 1) = 2 у таблиці 55.

2.Використання рівнянь$наслідків при розв’язуванні логарифмічних рів$ нянь. При розв’язуванні рівняння головне — не загубити його корені, і тому важливо стежити за тим, щоб кожен корінь першого рівняння залишався коренем наступного — у цьому випадку одержуємо рівняння&наслідки. Нага& даємо, що кожен корінь заданого рівняння перетворює його на правильну числову рівність. Використовуючи це означення, можна обґрунтувати такий орієнтир: якщо з припущення про правильність першої рівності випливає правильність кожної наступної, ми одержуємо рівняння!наслідки (оскільки кожен корінь першого рівняння буде і коренем наступного рівняння). Нага& даємо, що хоча при використанні наслідків не відбувається втрати коренів початкового рівняння, але можлива поява сторонніх коренів. Тому перевірка одержаних коренів підстановкою в початкове рівняння є складовою части! ною розв’язування при використанні рівнянь!наслідків.

Приклад розв’язування логарифмічного рівняння за допомогою рівнянь& наслідків та оформлення такого розв’язання наведено в пункті 3 таблиці 55.

3.Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь. Одним із часто вико& ристовуваних способів рівносильних перетворень рівнянь є заміна змінної.

Нагадаємо загальний орієнтир, якого ми дотримувалися при розв’язуванні рівнянь з інших розділів: якщо до рівняння (нерівності або тотожності) змінна входить в одному і тому ж вигляді, то зручно відповідний вираз із змінною позначити однією буквою (новою змінною).

Наприклад, до рівняння lg2 x – 2 lg x – 3 = 0 змінна входить тільки у ви& гляді lg x, тому для його розв’язування доцільно використати заміну lg x = t,

одержати квадратне рівняння t2 – 2t – 3 = 0, яке має корені t1 = –1 i t2 = 3, а потім виконати обернену заміну і одержати найпростіші логарифмічні рівнян& ня: lg x = –1 і lg x = 3. Тоді, за означенням логарифма, коренями заданого рівняння є x = 10–1 = 0,1 та x = 103 = 1000.

376

§ 33. Розв’язування логарифмічних рівнянь та нерівностей

Зважаючи на те, що заміна змінної (разом з оберненою заміною) є рівно& сильним перетворенням рівняння на будь&якій множині, для виконання за& міни не обов’язково знаходити ОДЗ заданого рівняння. А після виконання оберненої заміни ми одержали найпростіші логарифмічні рівняння, для яких (як було показано вище) ОДЗ враховується автоматично, і її теж можна не записувати. Отже, у наведеному розв’язанні ОДЗ заданого рівняння врахова& на автоматично, і тому в явному вигляді ОДЗ можна не записувати до розв’я& зання. Саме так і оформлено розв’язання цього рівняння в пункті 4 таблиці 55.

Розглянемо також рівносильні перетворення рівняння виду

(Як уже відзначалося, усі рівносильні перетворення рівняння виконуються на його області допустимих значень. Для рівняння (4) ОДЗ задається сис&

f (x) > 0,

темою нерівностей g (x) > 0. Оскільки логарифмічна функція loga t зрос&

тає (при a >1) або спадає (при 0 < a < 1) на всій своїй області визначення і кожного свого значення набуває тільки при одному значеннi аргументу, то рівність (4) може виконуватися (на ОДЗ) тоді і тільки тоді, коли f (x) = g (x). Враховуючи ОДЗ, одержуємо, що рівняння (4) рівносильне системі

Символічно одержаний результат зафіксовано в пункті 4 таблиці 55, а ко& ротко його можна сформулювати так:

щоб розв’язати рівняння loga f (x) = loga g (x) за допомогою рівносиль" них перетворень, враховуємо ОДЗ цього рівняння і прирівнюємо ви" рази, які стоять під знаками логарифмів. )

Приклад використання цього орієнтиру наведено в таблиці 55.

За у в а ж е н н я 1. Одержану систему (5)–(7) можна дещо спростити. Якщо

вцій системі виконується рівність (5), то значення f (x) i g (x) між собою рівні, тому, якщо одне з цих значень буде додатним, то друге теж буде додатним. Отже, рівняння (4) рівносильне системі, яка складається з рівняння (5) і однієї з нерівностей (6) або (7) (звичайно вибирають простішу з цих нерівностей).

Наприклад, рівняння log3 (x2 – 2) = log3 (4x – 5), розглянуте в таблиці 55,

x2 − 2 = 4x − 5,

рівносильне системі − > Але, враховуючи, що обмеження ОДЗ цього4x 5 0.

x2 − 2 > 0,

рівняння: 4x − 5 > 0 ми не розв’язували, а тільки перевіряли, чи задоволь&

377

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

няють знайдені корені цим обмеженням, то наведене спрощення не дає суттє& вого виграшу при розв’язуванні цього рівняння.

З а у в а ж е н н я 2. Як було обґрунтовано вище, якщо виконується рів& ність (4), то обов’язково виконується і рівність (5). Отже, рівняння (5) є на& слідком рівняння (4), і тому для знаходження коренів рівняння (4): loga f (x) = loga g (x) досить знайти корені рівняння&наслідку (5): f (x) = g (x) і виконати перевірку знайдених коренів підстановкою в задане рівняння. (Тоб& то при такому способі розв’язування ОДЗ рівняння (4) буде враховано опосе& редковано, у момент перевірки одержаних коренів, і його не доведеться явно записувати.)

Виконуючи рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь у більш складних випадках, можна дотримуватися такого орієнтира (він випливає

зозначення рівносильних рівнянь і обґрунтований у § 17 розділу 2):

1)Враховуємо ОДЗ заданого рівняння.

2)Слідкуємо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках із збере" женням правильної рівності.

Наприклад, розв’яжемо рівняння

log2 (x + 1) = 3 – log2 (x + 3) (8) за допомогою рівносильних перетворень.

x + 1 > 0,

Для цього досить врахувати ОДЗ рівняння x + 3 > 0, а потім, виконуючи

кожне перетворення рівняння, весь час стежити за тим, чи можна на ОДЗ виконати це перетворення і у зворотному напрямку. Якщо відповідь позитив& на, то виконані перетворення рівносильні. Якщо ж якесь перетворення для всіх значень змінної з ОДЗ можна виконати тільки в одному напрямку (від початкового рівняння до наступного), а для його виконання у зворотному напрямку потрібні якісь додаткові обмеження, то ми одержимо тільки рівнян& ня&наслідок, і отримані корені доведеться перевіряти підстановкою в почат& кове рівняння.

Застосуємо цей план до розв’язування рівняння (8).

Щоб звести це рівняння до найпростішого, перенесемо всі члени рівняння з логарифмами вліво. Одержимо рівносильне рівняння

log2 (x + 1) + log2 (x + 3) = 3. (9) (Рівносильність рівнянь (8) і (9) випливає з відомої теореми: якщо з однієї

частини рівняння перенести в іншу доданки з протилежним знаком, то одер& жимо рівняння, рівносильне заданому на будь&якій множині. Рівносильність цих рівнянь випливає також з того, що ми можемо перейти не тільки від рівності (8) до рівності (9), а й виконати зворотне перетворення, користую& чись властивостями числових рівностей.)

378

§ 33. Розв’язування логарифмічних рівнянь та нерівностей

Враховуючи, що сума логарифмів додатних (на ОДЗ) чисел дорівнює лога& рифму добутку, одержуємо рівняння

На ОДЗ заданого рівняння можна виконати і зворотне перетворення: ос& кільки x + 1 > 0 i x + 3 > 0, то логарифм добутку додатних чисел дорівнює сумі логарифмів множників. Отже, від рівності (10) можна повернутися до рівності (9), тобто цей перехід теж приводить до рівносильного рівняння. Рівняння (10) — це найпростіше логарифмічне рівняння. Воно рівносильне рівнянню, яке отримуємо за означенням логарифма:

(x + 1)(x + 3) = 23.

Виконуючи рівносильні перетворення одержаного рівняння, маємо:

x2 + 4x – 5 = 0, x1 = 1, x2 = –5.

Оскільки всі рівносильні перетворення виконувалися на ОДЗ заданого рівняння, врахуємо її, підставляючи одержані корені в обмеження ОДЗ:

x = 1 — корінь, бо задовольняє умовам ОДЗ;

х = –5 не є коренем (сторонній корінь), бо не задовольняє умовам ОДЗ. Отже, задане рівняння має тільки один корінь x = 1.

За у в а ж е н н я. Звичайно, розглянуте рівняння можна було розв’язати

із використанням рівнянь&наслідків, без явного врахування ОДЗ, але з пере& віркою одержаних розв’язків підстановкою в початкове рівняння. Тому ко& жен, хто розв’язує рівняння, має право обирати шлях розв’язування: чи це буде використання рівнянь&наслідків, чи рівносильні перетворення заданого рівняння. Але для багатьох рівнянь перевірку одержаних коренів досить не& просто виконати, а для нерівностей і зовсім не можна користуватися наслідка& ми. Це пов’язано з тим, що для нерівностей не вдається перевірити всі роз& в’язки — їх кількість у нерівностей, як правило, нескінченна. Отже, для не& рівностей доводиться виконувати тільки рівносильні перетворення (ці пере& творення нерівностей можна виконувати за орієнтирами, повністю аналогіч& ними наведеним вище).

Приклади розв’язання завдань

379

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

380