algebra10_нелін_дворівн

§30. Розв’язування показникових рівнянь та нерівностей

30.3.РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПОКАЗНИКОВИХ НЕРІВНОСТЕЙ

Та б л и ц я 52

1. Графік показникової функції у = ах (a > 0 і a ≠ 1)

2. Схема рівносильних перетворень найпростіших показникових нерівностей

3. Розв’язування більш складних показникових нерівностей

351

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

П р о д о в ж. т а б л. 52

Пояснення й обґрунтування

Розв’язування найпростіших показникових нерівностей виду ax > b (або ax < b, де a > 0 і a ≠ 1) ґрунтується на властивостях функції y = ax, яка зростає при a > 1 і спадає при 0 < a < 1. Наприклад, щоб знайти розв’язки нерівності ax > b при b > 0, досить подати b у вигляді b = ac. Одержуємо нерівність

При a > 1 функція ax зростає, отже, більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу, тому з нерівності (1) одержуємо x > с (знак цієї нерівності збігається із знаком нерівності (1)).

При 0 < a < 1 функція ax спадає, отже, більшому значенню функції відпо& відає менше значення аргументу, тому з нерівності (1) одержуємо x < с (знак цієї нерівності протилежний знаку нерівності (1)).

Графічно це проілюстровано на рисунку 125.

Наприклад, щоб розв’язати нерівність 5x > 25, досить подати цю нерівність у вигляді 5x > 52, врахувати, що 5 > 1 (функція 5x є зростаючою, отже, при пере& ході до аргументів знак нерівності не змінюється), і записати розв’язки: x > 2.

352

§ 30. Розв’язування показникових рівнянь та нерівностей

Зауважимо, що розв’язки заданої нерівності можна записувати у вигляді x > 2 або у вигляді проміжка (2; +×).

Аналогічно, щоб розв’язати нерівність (14 )x > 161 , досить подати цю

нерівність у вигляді (14 )x > (14 )2 , врахувати, що 14 < 1 (функція (14 )x є спад&

ною, отже, при переході до аргументів знак нерівності змінюється на проти& лежний), і записати розв’язки: x < 2.

Враховуючи, що при будь&яких додатних значеннях a значення ах завжди більше нуля, одержуємо, що при b m 0 нерівність ax < b розв’язків не має,

а нерівність ax > b виконується при всіх дійсних значеннях x.

Наприклад, нерівність 7x < –7 не має розв’язків, а розв’язками нерівності 7x > –7 є всі дійсні числа.

Узагальнюючи наведені вище міркування стосовно розв’язування най& простіших показникових нерівностей, відзначимо, що

при a > 1 нерівність af (x) > ag (x) рівносильна нерівності f (x) > g (x), а при 0 < a < 1 — нерівності f (x) < g (x).

Коротко це твердження можна записати так.

При а > 1 af (x) > ag (x) f (x) > g (x) (знак нерівності зберігається). При 0 < a < 1 af (x) > ag (x) f (x) < g (x) (знак змінюється на протилежний).

(Щоб обґрунтувати рівносильність відповідних нерівностей, досить від& значити, що при a > 1 нерівності

можуть бути правильними тільки одночасно, оскільки функція y = at при a > 1 є зростаючою і більшому значенню функції відповідає більше значен& ня аргументу (і навпаки: більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції). Отже, усі розв’язки нерівності (2) (які перетворюють її на правильну числову нерівність) будуть і розв’язками нерівності (3), та навпаки: усі розв’язки нерівності (3) будуть розв’язками нерівності (2). А це й означає, що нерівності (2) і (3) є рівносильними.

353

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Аналогічно обґрунтовується рівносильність нерівностей af (x) > ag (x) і f (x) < g (x) при 0 < a < 1. )

У найпростіших випадках при розв’язуванні показникових нерівностей, як і при розв’язуванні показникових рівнянь, намагаються за допомогою ос& новних формул дій над степенями звести (якщо це можливо) задану нерівність до виду af (x) ag (x).

Для розв’язування більш складних показникових нерівностей найчасті& ше використовують заміну змінних або властивості відповідних функцій (ці методи розглянуто в § 35 розділу 4).

Зауважимо, що, аналогічно до розв’язування показникових рівнянь, усі рівносильні перетворення нерівності завжди виконуються на її області допу& стимих значень (тобто на спільній області визначення для всіх функцій, які входять до запису цієї нерівності). Для показникових нерівностей досить ча& сто областю допустимих значень (ОДЗ) є множина всіх дійсних чисел. У цих випадках, як правило, ОДЗ явно не знаходять і не записують до розв’язання нерівності (див. далі приклад 1). Але якщо в процесі розв’язування показни& кової нерівності рівносильні перетворення виконуються не на всій множині дійсних чисел, то в цьому випадку доводиться згадувати про ОДЗ (див. далі приклад 2).

Приклади розв’язання завдань

Приклад 1 Розв’яжіть нерівність (0,6)x2−7x+6 l1.

Приклад 2 Розв’яжіть нерівність 3 x − 32− x m 8.

354

§ 30. Розв’язування показникових рівнянь та нерівностей

Відповідь: (–×; –1) (0; +×).

355

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Приклад 4* Розв’яжіть нерівність (3x − 9) x2 − 2x − 8 m0.

К о м е н т а р

Задану нестрогу нерівність зручно теж розв’язувати методом інтервалів. Записуючи відповідь, слід враховувати, що у випадку, коли ми розв’язуємо нестрогу нерівність f (x) m0, усі нулі функції f (x) повинні ввійти до відповіді.

(3x − 9) x2 − 2x − 8 = 0. Тоді 3х – 9 = 0 або x2 − 2x − 8 = 0.

З першого рівняння: х = 2 — не входить до ОДЗ, а з другого: х1 = –2, х2 = 4.

3.Позначаємо нулі f (x) на ОДЗ, знаходимо знак f (x)

у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ, і записуємо розв’язки нерівності f (x) m 0.

Відповідь: х (–×; –2] або х = 4.

Запитання для контролю

1.Поясніть, у яких випадках показникові нерівності ax > b та ax < b (де a > 0 і a ≠ 1) мають розв’язки. У яких випадках дані нерівності не мають роз& в’язків? Наведіть приклади. Проілюструйте ці приклади графічно.

2.Якій нерівності рівносильна показникова нерівність af (x) > ag (x) при a > 1? При 0 < a < 1? Наведіть приклади.

Вправи

356

§31 ЛОГАРИФМ ЧИСЛА. ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ

По з н а ч е н н я: logе b = ln b.

2.Основна логарифмічна тотожність

357

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

П р о д о в ж. т а б л. 53

4. Формула переходу до логарифмів з іншою основою

Пояснення й обґрунтування

1. Логарифм числа. Якщо розглянути рівність 23 = 8, то, знаючи будь&які два числа з цієї рівності, ми можемо знайти третє:

Перші дві операції, представлені в цій таблиці (піднесення до степеня і до& бування кореня n&го степеня), нам уже відомі, а з третьою — логарифмуван& ням, тобто знаходженням логарифму заданого числа — ми ознайомимося

вцьому параграфі.

Узагальному вигляді операція логарифмування дозволяє з рівності ах = b (де b > 0, а > 0, а ≠ 1) знайти показник х. Результат виконання цієї операції позначається loga b. Отже,

логарифмом додатного числа b за основою а (а > 0, а ≠ 1) називається

показник степеня, до якого треба піднести а, щоб одержати b.

Відзначимо, що при додатних а і b (а ≠ 1) рівняння ах = b завжди має єдиний

розв’язок, оскільки функція у = ах набуває всіх значень з проміжку (0; +×) і при а > 1 є зростаючою, а при 0 < а < 1 — спадною (рис. 126).

Отже, кожного свого значення b > 0 функція ах набуває тільки при одному значенні х. Таким чином, для будь!яких додатних чисел b і а (а ≠ 1) рівняння ах = b має єдиний корінь х = loga b.

При b m 0 рівняння ах = b (а > 0, а ≠ 1) не має коренів, отже, при b m 0

значення виразу loga b не існує.

358

§ 31. Логарифм числа. Властивості логарифмів

Рис. 126

Наприклад, не існують значення log3 (–9), log1 (−7), log2 0.

2

Зазначимо, що логарифм за основою 10 називається десятковим лога! рифмом і позначається lg.

Наприклад, log10 7 = lg 7, lg 100 = log10 100 = 2.

У недалекому минулому десятковим логарифмам віддавали перевагу і скла& дали дужe детальні таблиці десяткових логарифмів, які використовувалися в різних обчисленнях. В епоху загальної комп’ютеризації десяткові логариф& ми втратили свою провідну роль. У сучасній науці і техніці широко вико& ристовуються логарифми, основою яких є особливе число e (таке ж знамените, як і число π). Число e, як і число π, — ірраціональне, e = 2,718281828459045... .

Логарифм за основою e називається натуральним логарифмом і познача! ється ln.

2. Основна логарифмічна тотожність. За означенням логарифма, якщо loga b = х, то ах = b (а > 0, а ≠ 1, b > 0). Підставляючи в останню рівність замість х його значення, одержуємо рівність, яка називається основною логарифміч! ною тотожністю:

alogab = b , де а > 0, а ≠ 1, b > 0.

3. Властивості логарифмів і формули логарифмування. У всіх наведених нижче формулах а > 0 і а ≠ 1.

( 1) З означення логарифма одержуємо, що

loga 1 = 0 ,

оскільки а0 = 1 (при а > 0, а ≠ 1). Отже, логарифм одиниці за будь!якою основою дорівнює нулю.

2) Оскільки а1 = а, то

loga a = 1 .

359

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

3)Щоб одержати формулу логарифма добутку ху (х > 0, y > 0), позначимо loga х = u і loga у = v. Тоді за означенням логарифма

Перемноживши почленно дві останні рівності, маємо ху = аu + v. За озна& ченням логарифма і з урахуванням введених позначень з останньої рівності одержуємо loga (ху) = u + v = loga х + loga у.

Отже,

Логарифм добутку додатних чисел дорівнює сумі логарифмів множників.

4) Аналогічно, щоб одержати формулу логарифма частки xy (х > 0, y > 0), досить поділити почленно рівності (1). Тоді xy = au−v. За означенням лога&

рифма і з урахуванням введених позначень з останньої рівності одержуємо

loga x = u − v = loga x − loga y. y

Логарифм частки додатних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого

і дільника.

5)Щоб одержати формулу логарифма степеня хп (де х > 0), позначимо

loga х = u. За означенням логарифма х = аu. Тоді хп = апu, і за означенням логарифма з урахуванням позначення для u маємо loga хп = пu = п loga х. Отже,

Логарифм степеня додатного числа дорівнює добутку показника степе!

ня на логарифм основи цього степеня. )

1

Враховуючи, що при х > 0 n x = xn , за формулою (4) маємо:

log n x = log x1 = 1 log x. Тобто при х > 0 можна користуватися формулою

n

a a n a

loga n x = n1 loga x

(можна не запам’ятовувати цю формулу, а кожного разу записувати корінь

здодатного числа як відповідний степінь).

За у в а ж е н н я. Інколи доводиться знаходити логарифм добутку ху

ів тому випадку, коли числа х і у обидва від’ємні (х < 0, y < 0). Тоді ху > 0

іlogа (ху) існує, але формулою (2) скористатися не можна — вона обґрунто& вана тільки для додатних значень х і у. У випадку ху > 0 маємо ху = | x |æ| у | ,

ітепер | x | > 0 та | у | > 0, отже, для логарифма добутку | x |æ| у | можна скорис& татися формулою (2). Тому, при х < 0 і y < 0 можемо записати:

logа (ху) = logа (| x |æ| у |) = logа | x | + logа | у |.

360