algebra10_нелін_дворівн

§ 24. Ірраціональні рівняння

При розв’язуванні систем рівнянь, що містять ірраціональні рівняння, найчастіше використовуються традиційні методи розв’язування систем рівнянь: метод підстановки і метод заміни змінних. При розв’язуванні слід враховувати, що заміна змінних (разом з оберненою заміною) завжди є рівно сильним перетворенням (звичайно, якщо при вибраній заміні не відбуваєть ся звуження ОДЗ заданого рівняння чи системи). Але якщо для подальшого розв’язування рівнянь, одержаних в результаті заміни, ми будемо користу ватися рівняннями наслідками, то можемо отримати сторонні розв’язки, і тоді одержані розв’язки доведеться перевіряти.

Запитання для контролю

1.Назвіть основні методи розв’язування ірраціональних рівнянь. Наведіть приклади застосування відповідних методів.

2.Поясніть, чому для розв’язування рівнянь

5 x2 + 35 x − 4 = 0 , 3 x − 6 x − 2 = 0

зручно використати заміну змінної. Укажіть заміну для кожного рівняння. 3*. Обґрунтуйте, що при піднесенні обох частин рівняння до непарного степе

ня завжди одержуємо рівняння, рівносильне заданому.

4*. Поясніть, чому при піднесенні обох частин рівняння до парного степеня можуть з’явитися сторонні корені. Як відсіюють сторонні корені?

281

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

282

Пояснення й обґрунтування

1. Вам відомі поняття степенів з натуральним та цілим показником. Нага даємо їх означення та властивості.

Якщо n — натуральне число, більше за 1, то для будь якого дійсного чис

283

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

для степенів з раціональними показниками. Відповідне означення бажано дати так, щоб степені з раціональними показниками мали ті самі власти вості, що й степені з цілими показниками.

Наприклад, якщо ми хочемо, щоб виконувалася властивість (ap)q = apq, то

n го степеня остання рівність означає, що число a n є коренем n го степеня з числа am. Це приводить нас до такого означення.

Степенем числа a > 0 з раціональним показником r = m , де m — ціле

n

число, а n — натуральне число (n > 1), називається число n am . Також за означенням приймемо, що при r > 0

0r = 0 .

Наприклад, за означенням степеня з раціональним показником:

m

З а у в а ж е н н я. Значення степеня з раціональним показником a n (де n > 1) не означається при a < 0.

Це пояснюється тим, що раціональне число r можна подати різними спо

собами у вигляді дробу: r = m = mk , де k — будь яке натуральне число.

nnk

При а > 0, використовуючи основну властивість кореня і означення степе

а > 0 значення аr не залежить від форми запису r.

При а < 0 цю властивість не вдається зберегти. Наприклад, якщо r = 1 = 2 ,

натуральне, не рівне 1) для від’ємних значень а не вводиться.

284

§ 25. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція, її властивості та графік

Покажемо тепер, що для введеного означення степеня з раціональним по казником зберігаються всі властивості степенів з цілими показниками (різни ця полягає в тому, що наведені далі властивості є правильними тільки для додатних основ).

Для будь яких раціональних чисел r і s та будь яких додатних чисел а і b виконуються рівності:

1)aræas = ar + s;

2)ar : as = ar – s;

3)(ar)s = ars;

4)(ab)r = arbr;

5)(ab )r = abrr .

Для доведення цих властивостей досить cкористатиcя означенням степе ня з раціональним показником і доведеними в § 23 властивостями кореня п го степеня.

( Нехай r = m і s = p , де п і q — натуральні числа (більші за 1), а т і р – цілі.

nq

Тоді при а > 0 i b > 0 маємо:

Поняття степеня з ірраціональним показником. Опишемо в загальних рисах, як можна означити число aα для ірраціональних α, коли a > 1. Напри

клад, пояснимо, як можна розуміти значення 2 3.

Ірраціональне число 3 можна подати у вигляді нескінченного неперіо

дичного десяткового дробу: 3 = 1,7320508075... . Розглянемо десяткові на

ближення числа 3 з недостачею і надлишком:

285

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

1 < 3 < 2;

1,7 < 3 < 1,8;

1,73 < 3 < 1,74;

1,732 < 3 < 1,733;

1,7320 < 3 < 1,7321;

1,73205 < 3 < 1,73206;

1,732050 < 3 < 1,732051;

...

Будемо вважати, що коли r < 3 < s (де r і s – раціональні числа), то зна

чення 2 3 знаходиться між відповідними значеннями 2r і 2s, а саме: 2r < 2 3 < 2s. Знайдемо за допомогою калькулятора наближені значення 2r і 2s,

вибираючи як r і s наближені значення 3 з недостачею і надлишком відпо відно. Одержуємо співвідношення:

21 < 2 3 < 22; 21,7 ≈ 3,2490096 < 2 3 < 21,8 ≈ 3,4822022;

21,73 ≈ 3,3172782 < 2 3 < 21,74 ≈ 3,3403517; 21,732 ≈ 3,3218801 < 2 3 < 21,733 ≈ 3,3241834; 21,7320 ≈ 3,3218801 < 2 3 < 21,7321 ≈ 3,3221104; 21,73205 ≈ 3,3219952 < 2 3 < 21,73206 ≈ 3,3220182; 21,732050 ≈ 3,3219952 < 2 3 < 21,732051 ≈ 3,3219975;

...

Як бачимо, значення 2r і 2s наближаються до одного і того самого числа

3,32199... . Це число і вважається степенем 2 3. Отже, 2 3 = 3,32199....

Значення 2 3, обчислене на калькуляторі, таке: 2 3 ≈ 3,321997.

Можна довести, що завжди, коли ми вибираємо раціональні числа r, які з недостачею наближаються до ірраціонального числа α, і раціональні числа s, які з надлишком наближаються до цього самого ірраціонального числа α, для будь якого a > 1 існує, і притому тільки одне, число y, більше за всі ar і менше за всі as. Це число y за означенням є aα.

Аналогічно означається і степінь з ірраціональним показником α для 0 < a < 1, тільки у випадку, коли r < α < s при 0 < a < 1 вважають, що as < aα < ar. Крім того, як і для раціональних показників, за означенням вважають, що 1α = 1 для будь якого α і 0α = 0 для всіх α > 0.

286

§ 25. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція, її властивості та графік

Приклади розв’язання завдань

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

1.Дайте означення степеня з натуральним показником. Наведіть приклади обчислення таких степенів.

2.Дайте означення степеня з цілим від’ємним показником та з нульовим по

казником. Наведіть приклади обчислення таких степенів. При яких зна ченнях а існують значення виразів а0 та а–n, де n N?

3.Дайте означення степеня з раціональним показником r = m , де т — ціле

n

число, а п — натуральне, не рівне 1. Наведіть приклади обчислення таких

m

степенів. При яких значеннях а існують значення виразу a n ? Укажіть

2 −2

область допустимих значень виразів a5 та a 5.

4. Запишіть властивості степенів з раціональними показниками. Наведіть приклади використання цих властивостей.

5*. Обґрунтуйте властивості степенів з раціональними показниками.

6*. Поясніть на прикладі, як можна ввести поняття степеня з ірраціональним показником.

288

§ 25. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція, її властивості та графік

Вправи

1°. Подайте вираз у вигляді кореня з числа: