algebra10_нелін_дворівн

Додаткові вправи до розділу 2

4) arctg (3x2 – 3x + 1) < arcctg (3x2 – 3x + 1).

37.Знайдіть множину значень функції:

38. Знайдіть множину значень функції y = sin 2x, якщо:

40.При яких значеннях а вираз 2 + cos x (5 cos x + a sin x) дорівнюватиме одиниці хоча б при одному значенні х?

41.При яких значеннях а вираз 3 + sin x (2 sin x + a cos x) дорівнюватиме (–1) хоча б при одному значенні х?

261

Розділ 3

Степенева функція

§23 КОРІНЬ n/го СТЕПЕНЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

262

§23. Корінь n(го степеня та його властивості

Пр о д о в ж. т а б л. 42

Для довільних значень п (n N, n ≠ 1)

Значення кореня із степеня невід’ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник степеня підкореневого виразу помножити (або поділити) на одне й те саме натуральне число.

8) При a l 0, b l 0, якщо a > b, то n a > n b .

4. Запис розв’язків рівняння xn = a (n N)

263

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

Пояснення й обґрунтування

1. Означення кореня п го степеня. Поняття кореня квадратного з числа а вам відомо: це таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно означається і корінь п го степеня з числа а, де п — довільне натуральне число, більше 1.

Коренем п го степеня з числа а називається таке число, п й степінь якого дорівнює а.

Наприклад, корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, оскільки 33 = 27; корінь третього степеня з числа (–27) дорівнює (–3), оскільки (–3)3 = –27. Числа 2 і (–2) є коренями четвертого степеня з 16, оскільки 24 = 16 і (–2)4 = 16.

При п = 2 та при п = 3 корені п го степеня називають також відповідно квадратним та кубічним коренями.

Як і для квадратного кореня, для кореня п го степеня вводиться поняття арифметичного кореня.

Арифметичним коренем п го степеня з числа а називається невід’ємне число, п й степінь якого дорівнює а.

При а l 0 для арифметичного значення кореня п го степеня з числа а існує спеціальне позначення: n a; число n називають показником кореня, а саме число a — підкореневим виразом. Знак n і вираз n a називають також радикалом.

Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, запи сується так: 3 27 = 3; те, що корінь четвертого степеня з 16 дорівнює 2, запи сується так: 4 16 = 2. Але для запису того, що корінь четвертого степеня з 16 дорівнює (–2), позначення немає.

При а < 0 значення кореня п го степеня з числа а існує тільки при непарних значеннях п (оскільки не існує такого дійсного числа, парний степінь якого буде від’ємним числом). У цьому випадку корінь непарного степеня п з чис

ла а теж позначається n a. Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа (–27) дорівнює (–3), записується так: 3 −27 = −3. Оскільки (–3) — від’ємне число, то 3 −27 не є арифметичним значенням кореня. Але корінь непарного степеня з від’ємного числа можна виразити через арифметичне значення ко реня за допомогою формули 2k+1 −a = −2k+1 a .

(Щоб довести наведену формулу, зауважимо, що за означенням кореня п го степеня ця рівність буде правильною, якщо (−2k+1 a )2k+1 = −a. Дійсно,

(−2k+1 a )2k+1 = (−1)2k+1 (2k+1 a )2k+1 = − a, а це і означає, що 2k+1 −a = −2k+1 a. )

Наприклад, 3 −27 = −3 27 = −3; 5 −32 = −5 32 = −2.

264

§ 23. Корінь n(го степеня та його властивості

Зазначимо також, що значення 2k+1 a має той самий знак, що і число a,

оскільки при піднесенні до непарного степеня знак числа не змінюється. Також за означенням кореня п го степеня можна записати, що в тому ви

падку, коли існує значення n a, виконується рівність

(n a )n = a і, зокрема, при a l 0 ( a )2 = a .

2. Область допустимих значень виразів з коренями n го степеня. Розв’язки рівняння xn = a (n N). Зазначимо, що

значення 2k+1 a — кореня непарного степеня з числа а — існує при

будь яких значеннях а.

( Обґрунтуємо це, наприклад, для кореня третього степеня. Позначимо 3 a = x. Тоді за означенням кореня п го степеня x3 = a і значення 3 a буде існувати, якщо рівняння x3 = a буде мати розв’язок.

Зобразивши графіки функцій y = x3 і y = a (рис. 106), бачимо, що при будь яких значеннях a пряма y = a перетинає графік функції y = x3 в одній точці.

Отже, при будь якому значенні a існує єдине значення 3 a (оскільки функ ція y = x3 зростає і набуває всіх значень від –× до +×). )

Аналогічне обґрунтування можна навести і для інших коренів непарного степеня (див. графіки і властивості функцій виду y = x2k+1 у § 25).

Наведені міркування дозволяють записати розв’язки рівняння хп = а для непарних значень п = 2k + 1: при будь яких значеннях а рівняння

= a (k N) має єдиний корінь x = 2k+1 a.

Наприклад, рівняння х5 = 3 має єдиний корінь x = 5 3, а рівняння х7 = –11 має єдиний корінь x = 7 −11 (враховуючи, що 7 −11 = −7 11 , корінь для рівняння

х7 = –11 можна записати так: x = −7 11).

Значення 2k a — кореня парного степеня з числа а — існує тільки при а l 0.

Дійсно, у тому випадку, коли 2k a = x, за

означенням кореня п го степеня: a = x2k. Отже, а l 0.

Для квадратного кореня це можна також обґрунтувати, використовуючи відомий графік функції y = x2.

265

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

Зобразивши графіки функцій y = x2 і

y = a (рис. 107), бачимо, що пряма y = a перетинає графік функції y = x2 тільки при a l 0 (причому, при a > 0 — у двох

точках: x1 = a і x2 = − a, а при a = 0 — тільки в одній точці x = 0). Отже, при

будь яких значеннях a l 0 існує значен ня a, оскільки функція y = x2 набуває всіх значень із проміжку [0; +×). )

Розглянемо розв’язки рівняння xn = a для парних значень n = 2k (k N).

Рівняння x2 = a при a < 0 не має ко ренів, оскільки квадрат будь якого числа не може бути від’ємним (на рисун ку 107 пряма у = а при a < 0 не перетинає графік функції у = х2). Так само:

рівняння x2k = a (k N) при a < 0 не має коренів (оскільки парний степінь будь якого числа не може бути від’ємним).

При a = 0 рівняння x2k = 0 (k N) має єдиний корінь x = 0 (оскільки парний степінь будь якого відмінного від нуля числа — число додатне, тобто не рівне нулю, а 02k = 0).

При a > 0 за означенням кореня 2k го степеня (2k a )2k = a. Отже, x = 2k a — корінь рівняння x2k = a. Але (−2k a )2k = (2k a )2k = a, тому x = −2k a — теж корінь рівняння x2k = a. Інших коренів це рівняння не має, оскільки властивості функції y = x2k аналогічні властивостям функції y = x2: при x l 0 функція зростає, отже, значення a вона може набувати тільки при одному значенні

аргументу (x = 2k a ). Аналогічно при x m 0 функція y = x2k спадає, тому значен ня a вона може набувати тільки при одному значенні аргументу (x = −2k a ).

Таким чином, рівняння x2k = a при a > 0 має тільки два корені x = ± 2k a.

Наприклад, рівняння x10 = –1 не має коренів, а рівняння x6 = 5 має корені x = ± 6 5.

3. Властивості кореня п го степеня можна обґрунтувати, спираючись на оз начення кореня n го степеня.

1) Формула 2k+1 −a = −2k+1 a була обґрунтована на с. 264. Обґрунтуємо інші формули, наведені в таблиці 42.

(Нагадаємо, що за означенням кореня п го степеня для доведення рівності n A = B (при A l 0, B l 0) досить перевірити рівність Вп = А.

2) Вираз n an розглянемо окремо при п = 2k + 1 (непарне) і при п = 2k (парне).

266

§ 23. Корінь n(го степеня та його властивості

Якщо п — непарне, то враховуємо, що вираз n an існує при будь яких

значеннях а, і те, що знак n an = 2k+1 a2k+1 збігається із знаком а. Тоді за означенням кореня n го степеня одержуємо

n an = 2k +1 a2k+1 = a .

Якщо п — парне, то враховуємо, що вираз n an = 2k a2k позначає арифме

тичне значення кореня n го степеня (отже, 2k a2k l 0 ), і те, що | a |2k= a2k. Тоді

n an = 2k a2k = a .

3) Формулу

n k a = nk a при а l 0

обґрунтуємо, розглядаючи її справа наліво. Оскільки

(n k a )nk = ((n k a )n )k = (k a )k = a, то за означенням nk a = n k a.

4)Справедливість формули

(n a )k = n ak при а l 0

випливає з рівності ((n a )k )n = (n a )kn = ((n a )n )k = ak. 5) Для обґрунтування формули

n ab = n a n b при а l 0, b l 0

використовуємо рівність (n a n b )n = (n a )n (n b )n = ab.

6) Для обґрунтування формули

випливає з рівності (n am )nk = ((n am )n )k = (am )k = amk. )

Наприклад, 6 8 = 6 23 = 2 (показник кореня і показник степеня підкоре невого виразу поділили на натуральне число 3).

267

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

За допомогою формули n ab = n an b (а l 0, b l 0) можна одержати важливі наслідки: формули винесення множника з під знака кореня або внесення множника під знак кореня.

Дійсно, при а l 0, b l 0 n anb = n an n b = an b. Розглядаючи одержану фор мулу зліва направо, маємо формулу винесення невід’ємного множника з під знака кореня

nanb = an b ,

асправа наліво — формулу внесення невід’ємного множника під знак кореня

an b = n anb .

Наприклад, 5 96 = 5 32 3 = 5 25 3 = 25 3.

8)Зазначимо ще одну властивість коренів n го степеня:

для будь яких невід’ємних чисел a і b

якщо a > b, то n a > n b .

(Доведемо це методом від супротивного. Припустимо, що n a m n b. Тоді при

піднесенні обох частин останньої нерівності з невід’ємними членами до n го

степеня (із збереженням знака нерівності) одержуємо правильну нерівність a m b. Це суперечить умові a > b. Отже, наше припущення неправильне

і n a > n b. )

Наприклад, враховуючи, що 21 > 16, одержуємо 4 21 > 4 16. Оскільки

4 16 = 2, маємо, що 4 21 > 2.

Узагальнення властивостей кореня п го степеня *

Основна частина формул, які виражають властивості коренів n го степе ня, обґрунтована для невід’ємних значень підкореневих виразів. Але інколи доводиться виконувати перетворення виразів з коренями n го степеня і в тому випадку, коли таких обмежень немає. Наприклад, добувати корінь квадрат ний (або в загальному випадку корінь парного степеня) з добутку ab від’ємних

чисел (a < 0, b < 0). Тоді ab > 0 і 2k ab існує, проте формулою

скористатися не можна: вона обґрунтована тільки для невід’ємних значень a і b. Але у випадку ab > 0 маємо: ab = | ab | = | a |æ| b | і тепер | a | > 0 та | b | > 0. Отже, для добування кореня з добутку | a |æ| b | можна використати форму лу (1).

Тоді при a < 0, b < 0 можемо записати: 2k ab = 2k a b = 2k a 2k b .

* Цей матеріал є обов’язковим тільки для класів фізико математичного профілю.

268

§ 23. Корінь n(го степеня та його властивості

Зазначимо, що одержана формула справедлива і при a l 0, b l 0, оскільки в цьому випадку | a | = a і | b | = b. Отже,

при ab l 0 2k ab = 2k a 2k b . Аналогічно можна узагальнити властивість 6.

Слід зазначити, що в тих випадках, коли обґрунтування основних формул можна повторити і для від’ємних значень a і b, такими формулами можна користуватися для будь яких а і b (з ОДЗ лівої частини формули).

Наприклад, для коренів непарного степеня для будь яких значень a і b

Дійсно, ліва і права частини цієї формули існують при будь яких значен нях a та b і виконується рівність (2k+1 a 2k+1 b )2k+1 = (2k+1 a )2k+1 (2k+1 b )2k+1 = ab. Тоді за означенням кореня (2k+1) го степеня виконується і рівність (2).

Наприклад, 3 a15b = 3 a15 3 b = a5 3 b при будь яких значеннях a і b.

Але деякими формулами не вдається користуватися для довільних зна чень a і b. Наприклад, якщо ми за основною властивістю кореня запишемо,

що 6 a2 = 3 a (показник кореня і показник степеня підкореневого виразу поді лили на натуральне число 2), то одержана рівність не є тотожністю, оскільки при a = –1 (ліва і права частина цієї рівності означені при всіх значеннях a)

маємо 6 (−1)2 = 3 −1, тобто 1 = –1 — неправильну рівність.

Отже, при діленні показника кореня і показника степеня підкореневого виразу на парне натуральне число потрібно узагальнити основну властивість кореня. Для цього досить помітити, що a2 = | a |2, і тепер основа степеня підко реневого виразу | a | l0, а значить, можна використати основну формулу (влас

тивість 7): 6 a2 = 6 a 2 = 3 a .

У загальному випадку, якщо при використанні основної властивості ко реня доводиться ділити показник кореня і показник степеня підкореневого виразу на парне натуральне число, то в результаті основу степеня підкоре невого виразу доводиться брати за модулем, тобто

2kn a2km = n a m .

Аналогічно можна обґрунтувати й інші приклади використання основних властивостей коренів при довільних значеннях а і b (з ОДЗ лівої частини фор мули), які наведено в таблиці 43.

269