algebra10_нелін_дворівн

§ 18. Застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь

виконання рівностей f (x) = а і g (x) = а (і, навпаки, якщо одночасно вико$ нуються рівності f (x) = а і g (x) = а, то виконується і рівність f (x) = g (x)). Як було показано в § 17, це й означає, що рівняння f (x) = g (x) рівносильне

Приклад використання такого прийому розв’язування рівнянь наведено в пункті 2 таблиці 35.

Аналогічно до попередніх міркувань обґрунтовується і орієнтир по розв’я$ зуванню рівняння f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) = 0, у якому всі функції$доданки невід’ємні (f1 (x) l 0; f2 (x) l 0; ...; fn (x) l 0).

(Якщо припустити, що f1 (x) > 0, то сума всіх функцій, що стоять у лівій частині цього рівняння, може дорівнювати нулю тільки тоді, коли сума

f2 (x) + ... + fn (x) буде від’ємною. Але це неможливо, оскільки за умовою всі функції невід’ємні. Отже, при f1 (x) > 0 задане рівняння не має коренів. Ці самі міркування можна повторити для будь$якої іншої функції$додан$ ка. Залишається єдина можливість — усі функції$доданки дорівнюють

нулю (очевидно, що в цьому випадку рівність f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) = 0 обов’язково буде виконуватися). Таким чином, сума кількох невід’ємних функцій дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі функції одночасно дорівнюють нулю. )

Наприклад, щоб розв’язати рівняння x4 + | x – 1 | = 2x2 – 1, досить перене$ сти всі члени в один бік, записати рівняння у вигляді (x2 – 1)2 + | x – 1 | = 0 і взяти до уваги, що (x2 – 1)2 і | x – 1 | — невід’ємні функції. Отже, задане рів$

(x2 − 1)2 = 0,

няння рівносильне системі − = З другого рівняння одержуємо х = 1,x 1 0.

що задовольняє і всій системі. Отже, задане рівняння має єдиний корінь х = 1.

3. Використання зростання та спадання функцій до розв’язування рівнянь спирається на таку властивість: зростаюча або спадна функція набуває кож% ного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Корисно пам’ятати спеціальні теореми про корені рівняння.

Т е о р е м а 1. Якщо в рівнянні f (x) = a функція f (x) зростає (спадає) на

деякому проміжку, то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

201

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

Графічно твердження теореми проілюстровано на рисунку 96. Пряма у = а перетинає графік зростаючої на проміжку [α; β] функції у = f (x) тільки в одній точці. Це й означає, що рівняння f (x) = а не може мати більше одного кореня на проміжку [α; β]. Доведемо це твердження аналітично.

(Якщо на проміжку [α; β] рівняння має корінь x0, то f (x0) = a. Інших ко$

ренів бути не може, оскільки для зростаючої функції f (x) при x > x0 одер$ жуємо f (x) > f (x0) = a, а при x < x0 маємо f (x) < f (x0) = a. Отже, при x ≠ x0 f (x) ≠ a. Аналогічно і для спадної функції при x ≠ x0 одержуємо f (x) ≠ a. )

Т е о р е м а 2. Якщо в рівнянні f (x) = g (x) функція f (x) зростає на деякому

проміжку, а функція g (x) спадає на цьому самому проміжку (або навпа ки), то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому про міжку.

Графічно твердження теореми проілюстровано на рисунку 97.

(Якщо на проміжку [α; β] рівняння має корінь x0, то f (x0) = g (x0) = a. Інших коренів бути не може, оскільки, наприклад, для зростаючої функції f (x)

і спадної функції g (x) при x > x0 маємо f (x) > a, a g (x) < a, отже, f (x) ≠ g (x). Аналогічно і при x < x0 f (x) ≠ g (x). )

Кожна з цих теорем стверджує, що в розглянутому проміжку задане рівнян% ня може мати не більш ніж один корінь, тобто або це рівняння зовсім не має коренів, або воно має тільки єдиний корінь. Якщо нам вдалося підібрати один корінь такого рівняння, то інших коренів у заданому проміжку рівняння не має.

Наприклад, щоб розв’язати рівняння x3 + x = 10, досить помітити, що функція f (x) = x3 + x є зростаючою на всій числовій прямій (як сума двох зростаючих функцій) і що x = 2 — корінь* цього рівняння (23 + 2 = 10; 10 = 10). Отже, задане рівняння f (x) = 10 має єдиний корінь x = 2.

Зазначимо, що кожна з цих теорем гарантує єдиність кореня рівняння (якщо він є) тільки на проміжку зростання (чи спадання) відповідної функції.

*Корінь x = 2 одержано підбиранням. Як правило, підбір починають з цілих значень:

х= 0, ä1, ä2..., які підставляються в задане рівняння.

202

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

З а у в а ж е н н я. Твердження, яке було обґрунтовано в коментарі до при$ кладу 2, може бути використано при розв’язуванні аналогічних завдань. Ко$ ротко його можна сформулювати так: якщо функція f (x) є зростаючою (або спадною) на певній множині, то на цій множині f (α) = f (β) α = β.

Запитання для контролю

1.Поясніть на прикладах, як можна використати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

204

§ 18. Застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь

2*. Обґрунтуйте правильність орієнтирів по розв’язуванню рівнянь з викори$ станням властивостей функцій, які наведено в таблиці 35 (с. 198).

Вправи

Розв’яжіть рівняння (1–4), використовуючи властивості відповідних функцій.

3.1) | x2 – 7x + 12 | + | x2 – 9 | + | 6 – 2x | = 0;

2)| x + 2 | + | y – 5 | + | 2x2 – 8 | = 0;

5)x2 + y2 + 5 = 4x + 2y;

6)3x2 + y2 + 2z2 = 4y – 6x – 12z – 25.

205

Іноді доводиться розв’язувати тригонометричні рівняння, до яких вхо$ дить лише сума або різниця синуса і косинуса одного і того самого аргументу та їх добуток. У такому випадку доцільно цю суму (або різницю) позначити новою змінною.

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння 3 (sin x + cos x) = 2 sin 2х.

К о м е н т а р Якщо в заданому рівнянні звести всі тригонометричні функції до одного

аргументу х, то одержимо рівняння (1) (див. розв’язання), до якого входять лише сума синуса та косинуса одного і того самого аргументу х і їх добуток. Для розв’язування цього рівняння введемо нову змінну sin x + cos x = y. Щоб одержати добуток sin x cos x, досить піднести до квадрата обидві частини рів$

Якщо позначити sin x + cos x = у, то sin2 x + cos2 x + 2 sinxcosx = y2. Тоді

sinxcosx = y2 − 1. Підставляючи ці значення в рівняння (1), одержуємо

2

З а у в а ж е н н я. При піднесенні обох частин рівняння до квадрата можна одержати сторонні корені (див. таблицю 34). Але піднесення обох частин рівності заміни до квадрата є рівносильним перетворенням. Дійсно, у цьому випадку ліва і права частини рівності мають однакові знаки, і тоді a = b a2 = b2. Якщо обидві частини рівності a = b додатні, то для додатних значень t функ$ ція y = t2 зростає і тому кожного свого значення набуває тільки при одному

206

§ 19. Приклади розв’язування більш складних тригонометричних рівнянь та їх систем

значенні аргументу. Отже, при a > 0, b > 0 з рівності a = b випливає рівність a2 = b2 і, навпаки, з рівності a2 = b2 випливає рівність a = b, що й гарантує рівносильність виконаного перетворення для додатних a і b. Аналогічно для a m0, b m0 використовуємо те, що для від’ємних значень t функція у = t2 спадає і тому кожного свого значення набуває тільки при одному значенні аргументу.

Для розв’язування деяких тригонометричних рівнянь можуть застосову$ ватися властивості функцій (відповідні загальні підходи до розв’язування було розглянуто в § 18), зокрема, оцінка лівої і правої частин рівняння.

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння cos 6x + sin 5x = 2.

2

X Оцінимообластьзначеньфункції f (x) = cos 6x + sin 5x .

2

Оскільки | cos 6x | m 1 і sin5x m1, то | f (x) | m 2, тобто –2 m f (x) m 2.

2

З’ясуємо, чи існують такі значення х, при яких функція f (x) може досяга$ ти найбільшого значення 2. Якщо cos 6x буде менший від 1, то для того, щоб

більшим від 1, що неможливо. Аналогічно, якщо припустити, що sin 5x мен$

2

ший від 1, то для того, щоб сума cos 6x + sin 5x дорівнювала 2, необхідно, щоб

2

значення cos 6x було більшим від 1, що неможливо. Таким чином, рівність

у даному рівнянні можлива тоді і тільки тоді, коли cos 6x і sin 5x дорівню$

2

ють 1. Тому задане рівняння рівносильне системі

Прирівнюючи праві частини цих рівностей, одержуємо πk = π + 4πn . Звідси k = 3 + 12n .

Оскільки k і n — цілі числа, то спробуємо підставити в праву частину ос$ танньої рівності замість п цілі числа і знайти, для яких значень п за цією формулою k також буде цілим числом. При n = 1 одержуємо k = 3. У випадку, коли коефіцієнт 12 при змінній n у чисельнику дробу і знаменник 5 — взаєм$ но прості числа, повторення подільності націло буде тільки через знаменник, тобто через 5. Тому останнє рівняння має розв’язки в цілих числах вигляду n = 1 + 5т, m Z. Підставляючи значення п в один із розв’язків системи,

207

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

одержуємо х = π + 4πm. Ці значення і є розв’язками останньої системи, отже, і розв’язками даного рівняння.

Відповідь: х = π + 4πm, m Z. Y

Приклад 3 Розв’яжіть рівняння 2 sinx + cosx = 2 + sin6 8x.

мо область значень функцій, що стоять у лівій і правій частинах рівняння. Розв’язуючи одержану систему двох рівнянь з одним невідомим, можна дещо спростити викладки і розв’язати лише одне рівняння системи, а для іншого перевірити, чи задовольняють йому одержані розв’язки.

Ліва частина рівняння (1) менша або дорівнює 2, а права частина більша або дорівнює 2. Рівність між ними можлива тоді і тільки тоді, коли ліва і права частини рівняння дорівнюють 2, тобто дане рівняння рівносильне системі

Перевіримо, чи задовольняють знайдені значення другому рівнянню сис$

теми. Якщо x = π + πn, то 8x = 2π + 8πn, тоді sin 8x = 0 і тому 2 + sin6 8x = 2.

4

Відповідь: π + πn, n Z. Y

4

Іноді для розв’язування тригонометричних рівнянь доводиться застосову$ вати тригонометричні формули, які приводять до звуження ОДЗ заданого рівняння. Такі перетворення можуть приводити до втрати коренів рівняння. Щоб цього не сталося, можна користуватися таким о р і є н т и р о м:

208

§ 19. Приклади розв’язування більш складних тригонометричних рівнянь та їх систем

якщо для розв’язування рівнянь (чи нерівностей) доводиться вико нувати перетворення, що звужують ОДЗ початкового рівняння (чи нерівності), то ті значення, на які звужується ОДЗ, потрібно роз глядати окремо.

У таблиці 36 указано тригонометричні формули, які можуть приводити до звуження ОДЗ, та відповідні значення змінної, які доводиться перевіряти при використанні цих формул.

Т а б л и ц я 36

209

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

Щоб упевнитися, що наведені формули приводять до звуження ОДЗ, до$ сить порівняти області допустимих значень їх лівих і правих частин.

Наприклад, розглянемо формулу ctgx = 1 .

tgx

(ОДЗ лівої частини: х ≠ πn, n Z. Для знаходження ОДЗ правої частини формули враховуємо, що знаменник дробу не дорівнює нулю: tg x ≠ 0, отже, x ≠ πn, n Z, і також умову існування тангенса: x ≠ π + πk, k Z. Тобто

2

x ≠ πn, n Z,

ОДЗ правої частини задається системою обмежень π

x ≠ + πk, k Z.

2

Порівнюючи ОДЗ лівої і правої частин розглянутої формули, бачимо, що ОДЗ правої частини містить додаткове обмеження (x ≠ 2π + πk). Отже, при переході за цією формулою від її лівої частини до правої відбувається

окремо (звичайно, тільки в тому випадку, коли воно входить до ОДЗ зада$ ного рівняння). )

Наведемо приклад використання вказаного орієнтира.

К о м е н т а р Якщо скористатися першими двома формулами таблиці 36, то ми зведемо

всі тригонометричні вирази в цьому рівнянні й до одного аргументу, і до однієї функції — tg x. Але при використанні зазначених формул відбувається зву$

ження ОДЗ на значення x = π + πk, k Z, і через те можна втратити корені

2

рівняння, якщо числа такого виду входили в ОДЗ початкового рівняння і є його коренями. Щоб цього не сталося, розіб’ємо розв’язування на дві частини.

1.Підставляємо ті значення змінної, на які звужується ОДЗ, у рівняння (1). При обчисленнях враховуємо періодичність функцій і формули зведення.

2. При x ≠ π + πk (на ОДЗ рівняння (1)) використання формул ctgx = 1

210