algebra10_нелін_дворівн

§ 27. Розв’язування ірраціональних нерівностей

даній: f (x) < g2k (x) (звичайно, за умови врахування ОДЗ заданої нерівності і умови (4)). Отже,

f (x) l 0,

< >

2k f (x) g (x) g (x) 0,

<

f (x) g2k (x) .

3)Якщо за допомогою рівносильних перетворень необхідно розв’язати не рівність

на її ОДЗ, де f (x) l 0, то для правої частини цієї нерівності розглянемо два випадки: а) g (x) < 0; б) g (x) l 0.

а) При g (x) < 0 нерівність (5) виконується для всіх х з ОДЗ заданої не рівності, тобто при f (x) l 0.

б) При g (x) l 0 обидві частини нерівності (5) невід’ємні, і при піднесенні до парного степеня 2k одержуємо нерівність, рівносильну заданій:

Зауважимо, що для всіх розв’язків нерівності (6) обмеження ОДЗ заданої нерівності f (x) l0 виконується автоматично; отже, при g (x) l 0 досить запи сати тільки нерівність (6).

Об’єднуючи одержані результати, робимо висновок, що:

Приклади розв’язування завдань

Приклад 1 Розв’яжіть нерівність x + 3 − x − 1 > 2x −1.

К о м е н т а р

Зведемо нерівність до виду f (x) > 0 і розв’яжемо її методом інтервалів. Для знаходження нулів функції f (x) використаємо рівняння наслідки.

Щоб відсіяти сторонні корені, виконаємо перевірку одержаних розв’язків. Р о з в ’ я з а н н я

Задана нерівність рівносильна нерівності x + 3 − x −1 − 2x − 1 > 0.

311

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

I спосіб (метод інтервалів)

К о м е н т а р

Зведемо задану нерівність до виду f (x) > 0 і розв’яжемо її методом інтер валів. При знаходженні ОДЗ заданої нерівності для розв’язування нерівності

Для знаходження нулів функції f (x) використаємо рівняння наслідки. Хоча функція f (x) і не має нулів, але й у такому випадку метод інтервалів

також працює. Тільки в цьому випадку інтервали знакосталості функції f (x) збігаються з інтервалами, з яких складається її область визначення.

Р о з в ’ я з а н н я Задана нерівність рівносильна нерівності

методом інтервалів (див. рисунок). Одержуємо: х (–×; –2] (0; +×).

2. Нулі функції f (x): x3 + 8 − x + 2 = 0. Тоді:

x

312

3. ОДЗ нерівності (1) розбивається на два проміжки, у яких функція f (x) має знаки, указані на рисунку.

Відповідь: (–×; –2] (0; +×).

ІІ спосіб (рівносильні перетворення)

К о м е н т а р Для розв’язування використаємо рівносильні перетворення (с. 311):

за яких цей дріб буде невід’ємний.

Укінці, об’єднуючи одержані розв’язки, отримуємо відповідь.

Ро з в ’ я з а н н я

Враховуючи, що 4х2 – 4х + 8 > 0 при всіх значеннях х (D < 0 і а = 4 > 0), одержуємо, що остання сукупність трьох систем рівносильна сукупності:

Відповідь: (–×; –2] (0; +×).

З а у в а ж е н н я. Записуючи наведене розв’язання, знаки рівносильності ( ) можна не ставити, досить на початку розв’язання записати таку фразу: «Виконаємо рівносильні перетворення заданої нерівності».

313

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

знаком зовнішнього квадратного кореня, є квадратом двочлена. Застосовуючи формулу a2 = a , одержуємо нерівність з модулями, для

розв’язування якої використовуємо план:

1)знайти ОДЗ;

2)знайти нулі всіх підмодульних функцій;

3)відмітити нулі на ОДЗ і розбити ОДЗ на проміжки;

4)знайти розв’язки нерівності в кожному з проміжків.

Р о з в ’ я з а н н я

Нехай 3x + 5 = t, де t l 0. Тоді 3x + 5 = t2, 3x = t2 – 5.

Отримуємо нерівність t2 + 4 − 4t + t2 + 9 − 6t m1, яку можна записати так:

1.ОДЗ нерівності (2): t R, але за змістом завдання цю нерівність потрібно розв’язати при t l 0.

2.Нулі підмодульних функцій: t = 2 і t = 3.

3. Ці нулі розбивають область t l 0 на три про міжки, у кожному з яких кожна підмодульна функція має постійний знак (див. рисунок).

Проміжок І. При t [0; 2] маємо нерівність

–(t – 2) – (t – 3) m 1, з якої одержуємо t l 2, але в проміжок [0; 2] входить тільки t = 2.

Проміжок ІI. При t [2; 3] маємо нерівність

(t – 2) – (t – 3) m1, яка рівносильна нерівності 0æt m 0, що виконується при будь яких значеннях t. Отже, у проміжку [2; 3] розв’язками нерівності будуть усі значення t з цього проміжку (2 m t m 3).

Проміжок III. При t [3; +×) маємо нерівність

(t – 2) + (t – 3) m 1, з якої одержуємо t m 3, але в проміжок [3; +×) входить тільки значення t = 3.

Об’єднуючи одержані результати, робимо висновок, що розв’язками не рівності (2) будуть усі значення t, такі що: 2 m t m 3.

Виконуючи обернену заміну, маємо 2 m 3x + 5 m 3, звідки 4 m 3x + 5 m 9.

Тоді − 1 mx m 4.

33

Відповідь: − 13; 43 .

314

§ 27. Розв’язування ірраціональних нерівностей

Запитання для контролю

1.Назвіть основні методи розв’язування ірраціональних нерівностей.

2.Назвіть основні етапи розв’язування ірраціональної нерівності методом інтервалів.

3.Обґрунтуйте справедливість таких рівносильних перетворень:

1)2k+1 f (x) > g (x) f (x) > g2k+1(x);

x

2) ( x2 − 5x + 6 + 2) x − 1 ( 10x − 2x2 − 12 + 2)l 0.

x

315

§28 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ З ПАРАМЕТРАМИ

Основні методи та ідеї, які використовуються при розв’язуванні завдань з параметрами, було розглянуто в § 20 розділу 2. Як і раніше, при розв’язу ванні завдань з параметрами, у яких вимагається розв’язати рівняння чи нерівність, можна користуватися о р і є н т и р о м: будь яке рівняння чи нерівність з параметрами можна розв’язувати як звичайні рівняння чи нерівність доти, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв’я зування, можна виконати однозначно. Але в тому разі, коли якесь перетво рення не можна виконати однозначно, розв’язування необхідно розбити на декілька випадків, щоб у кожному з них відповідь через параметри записува лася однозначно.

Також на етапі пошуку плану розв’язування рівнянь чи нерівностей з па раметрами або при проведенні міркувань, пов’язаних із самим розв’язанням, часто зручно супроводжувати відповідні міркування схемами, за якими легко простежити, у який момент ми не змогли однозначно виконати необхідні пе ретворення, на скільки випадків довелося розбити розв’язання і чим відріз няється один випадок від іншого.

Зазначимо, що рівняння та нерівності з параметрами найчастіше розв’я зують за допомогою їх рівносильних перетворень, хоча інколи використову ються і властивості функцій, метод інтервалів для розв’язування нерівностей та рівняння наслідки.

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння x − 2 = a. К о м е н т а р

Ми не можемо однозначно дати відповідь на питання, чи є в заданого рівнян ня корені, і тому вже на першому кроці повинні розбити розв’язання на два випадки: 1) a < 0 — коренів немає, 2) a l 0 — корені є (див. схему).

Ро з в ’ я з а н н я

1)При a < 0 рівняння не має коренів.

2)При a l 0 x – 2 = a2. Тоді х = а2 + 2.

Відповідь: 1) якщо a < 0, то коренів немає; 2) якщо a l 0, то х = а2 + 2.

316

§ 28. Розв’язування ірраціональних рівнянь та нерівностей з параметрами

* У запису розв’язання прикладів 2–6 синім кольором виділено обмеження, які дове лося накласти в процесі рівносильних перетворень заданого рівняння чи нерівності.

317

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

2) при a < –10 або a > 8 коренів немає. несення обох його частин до квадрата одержимо рівносильне рівняння (6).

Для всіх коренів рівняння (6) його права частина невід’ємна, отже, і ліва частина буде невід’ємною: x – 1 l 0, але тоді й умова (8) ОДЗ заданого рів няння врахована автоматично, і то му ОДЗ можна не записувати до роз в’язання.

318

§ 28. Розв’язування ірраціональних рівнянь та нерівностей з параметрами

319

РОЗДІЛ 3. Степенева функція

Приклад 5 Розв’яжіть нерівність x − a > x + 1.

К о м е н т а р Спочатку скористаємося рівносильними перетвореннями (с. 311):

Якщо в одержані системи параметр a входить лінійно, то в таких випад ках іноді буває зручно виразити параметр через змінну, розглянути пара метр як функцію від цієї змінної і використати графічну ілюстрацію розв’я зування нерівностей (у системі координат xОa). Зазначимо, що для зобра ження розв’язків сукупності нерівностей зручно використовувати дві систе ми координат, у яких осі Оx знаходяться на одній прямій (і на кожній виділя ти штриховкою відповідні розв’язки).

При різних значеннях a пряма a = const або не перетинає заштриховані області (при a l − 34 ), або перетинає їх по відрізках. Абсциси точок перетину є розв’язками систем (1) і (2), а тому і розв’язками заданої нерівності.

320