algebra10_нелін_дворівн

§ 33. Розв’язування логарифмічних рівнянь та нерівностей

391

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Запитання для контролю

1.Поясніть на прикладах, як можна розв’язувати найпростіші логарифмічні нерівності, користуючись властивостями логарифмічної функції.

2*. Обґрунтуйте справедливість рівносильних переходів:

3.Поясніть на прикладі використання методу інтервалів при розв’язуванні логарифмічних нерівностей.

Вправи

392

§34 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПОКАЗНИКОВО<СТЕПЕНЕВИХ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ

Т а б л и ц я 57

Показниково;степеневі рівняння

Показниково!степеневими рівняннями звичайно називають рівняння, що містять вирази виду (f (x))g (x) , тобто рівняння виду (f (x))g (x) = (f (x))ϕ (x)

(основою степенів, які стоять у лівій і правій частинах показниково& степеневого рівняння є f (x) — вираз із змінною).

Основні способи розв’язування рівняння (f (x))g (x) = (f (x))ϕ (x)

І.f (x) > 0

1.xlogx ( x+1) = x2 − 1

393

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

П р о д о в ж. т а б л. 57

ІІ.f (x) — довільний вираз

3.х2х + 4 = х20.

Пояснення й обґрунтування

Показниково!степеневими рівняннями та нерівностями звичайно нази& вають рівняння і нерівності, що містять вирази виду f (x)g (x) (тобто змінна входить і до основи, і до показника степеня).

Аналізуючи показниково&степеневі рівняння, представлені в таблиці 57, слід пам’ятати, що в шкільному курсі математики поняття рівняння на різних етапах вводилося по&різному. А саме: у 4–5 класах рівнянням називалася

числова рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою. Значення невідомого, при якому рівняння перетворюється на правильну числову рівність, називалося коренем або розв’язком цього рівняння. Наприклад, для рівняння 2х = 6 коренем є значення х = 3.

З точки зору наведеного означення у рівнянні 2х = 6 літерою х позначено хоча і невідоме нам, але конкретне число, тому х може набувати тільки єди& ного значення (х = 3). Але таке означення утруднює в подальшому роботу з рівнянням. Коли х набуває тільки єдиного значення, ми не можемо викори& стовувати, наприклад, графічне розв’язування рівняння (маючи тільки одне

394

§ 34. Розв’язування показниково;степеневих рівнянь та нерівностей

значення х, неможливо одержати графік у = 2х як пряму лінію на площині). Тому, починаючи з 6–7 класу, рівняння означається як рівність із змінною (а коренем або розв’язком рівняння відповідно називається таке значення змінної, при якому це рівняння перетворюється на правильну числову рівність). Тепер х у тому самому рівнянні 2х = 6 — це змінна, для якої немає жодного обмеження, і через те х може бути будь&яким числом (ОДЗ рівняння: x R). При такому підході кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної 2х. Отже, це рівняння можна розв’язати графічно, побуду& вавши графіки функцій у = 2х і у = 6. Крім того, при такому підході можна записати рівняння в загальному вигляді як рівність f (x) = ϕ (x) і обґрунтова& но використовувати властивості функцій для розв’язування рівнянь.

Для всіх видів рівнянь, які розглядалися в курсі алгебри чи алгебри і по& чатків аналізу, наведені два означення рівняння приводять до одного й того самого результату при розв’язуванні рівнянь. Але у випадку показниково& степеневого рівняння інколи можна отримати різні відповіді, використовую& чи різні підходи до означення рівняння.

Наприклад, розглянемо рівняння х2х + 1 = х5.

Якщо розглядати таке рівняння як числову рівність, то два степені з одна& ковою основою х можуть бути рівними тільки в одному з чотирьох ви& падків. А саме: якщо основою степеня є значення –1; 0; 1 (х = –1, х = 0, х = 1), то степені можуть бути рівними навіть тоді, коли їх показники будуть різними (звичайно, якщо ці степені існують). У всіх інших випад& ках степені з однаковою основою будуть рівними тільки тоді, коли показ& ники цих степенів будуть рівними (2х + 1 = 5, тобто х = 2). Отже, для одержання всіх коренів заданого рівняння досить перевірити значення х, рівні –1; 0; 1; 2. Всі ці числа є коренями, бо при підстановці кожного з них у задане рівняння воно перетворюється на правильну числову рівність.

Якщо ж розглядати це рівняння як рівність із змінною і стати на функціо& нальну точку зору, то функція f (x) = х2х + 1, як правило, вважається озна& ченою тільки при х > 0, і тоді задане рівняння має тільки два корені: 1 і 2.

Отже, до розглянутого рівняння відповідь не можна записати однозначно (оскільки кожен із указаних підходів до означення рівняння має право на існування і реально використовується в математиці). Тому в подібних ситуа& ціях доводиться наводити обидва варіанти відповіді.

Аналогічний приклад наведено в таблиці 57.

Узагальнюючи наведені вище міркування, зазначимо, що в тому випадку, коли при розв’язуванні рівняння виду (f (x))g (x) = (f (x))ϕ (x) з умови не випливає, що основа степеня f (x) > 0, доводиться розглядати три особливих випадки: основа f (x) дорівнює –1, 0, 1 (зрозуміло, що в цих випадках степені (f (x))g(x) і (f (x))ϕ (x) можуть бути рівними навіть тоді, коли показники g (x) і ϕ (x) різні),

395

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

а потім прирівняти показники (g (x) = ϕ (x)). Якщо ж з умови випливає, що f (x) > 0, то розглядаємо тільки один особливий випадок — основа степеня до& рівнює 1 (f (x) = 1) — і прирівнюємо показники степенів (g (x) = ϕ (x)).

Наприклад, розглянемо рівняння (х2 – 1)3х – 7 = (х2 – 1)8.

З умови не випливає, що основа степеня х2 – 1 > 0, отже, доводиться роз& глядати всі випадки.

1)Якщо х2 – 1 = –1, то х2 = 0, отже, х = 0.

Підставляючи це значення в задане рівняння, маємо (–1)–7 = (–1)8, тобто –1 = 1 (неправильна рівність), отже, х = 0 не є коренем заданого рівняння.

2)Якщо х2 – 1 = 0, тобто х = ä1, то при цих значеннях х задане рівняння пере& творюється на неправильну числову рівність (оскільки значення виразів 0–4 та 0–10 не існують). Отже, числа 1 і –1 не є коренями даного рівняння.

3)Якщо х2 – 1 = 1, тобто x = ± 2, то задане рівняння перетворюється на

правильну рівність (1 = 1), отже, x = ± 2 — корені даного рівняння.

4)Прирівняємо показники степенів заданого рівняння (основи степенів у лівій

і правій частинах рівняння однакові): 3х – 7 = 8, тоді х = 5 (при підста& новці отримуємо правильну рівність 248 = 248).

Об’єднуючи одержані результати, отримуємо відповідь.

Відповідь: − 2; 2; 5.

З а у в а ж е н н я. При f (x) > 0 для розв’язування рівняння (f (x))g (x) = (f (x))ϕ (x) можна прологарифмувати обидві його частини за будь& якою числовою основою, одержати рівносильне рівняння, у якому вже не до& ведеться розглядати особливий випадок — він буде врахований автоматич& но. Це пов’язано з тим, що функція у = ах при a > 0 має особливий випадок, якщо а = 1 (див. графік функції у = ах при a > 0 на с. 338), а функція y = logb x (де b > 0, b ≠ 1) особливих випадків не має.

Такожзауважимо,щоприрозв’язуваннінерівностейвиду (f (x))g (x) > (f (x))ϕ (x), як правило, використовують функціональний підхід і вважають, що f (x) > 0.

Відзначимо, що в тих випадках, коли до показниково!степеневого рівнян!

ня входять вирази виду aloga N, то для розв’язування такого рівняння може використовуватися основна логарифмічна тотожність. У цьому випадку слід враховувати ОДЗ заданого рівняння (див. приклад 1 у табл. 57).

Досить часто для розв’язування показниково&степеневих рівнянь вико& ристовується логарифмування обох частин. Звичайно, це можна зробити тільки тоді, коли на ОДЗ заданого рівняння обидві частини рівняння додатні (див. приклад 2 у табл. 57).

Наведемо ще кілька прикладів розв’язування показниково&степеневих рів& нянь і нерівностей.

396

§ 34. Розв’язування показниково;степеневих рівнянь та нерівностей

Приклади розв’язання завдань

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння 5log2 x + xlog25 = 10.

К о м е н т а р

Прологарифмувати обидві частини заданого рівняння не вдається (у лівій частині стоїть сума), тому спробуємо всі степені подати як степені з однією і тією самою числовою основою. Враховуючи, що в заданому рівнянні є лога& рифм за основою 2, подамо всі задані степені як степені з основою 2 за форму&

лою u = aloga u, де u > 0, a > 0, а ≠ 1. Тоді

(тобто доданки, які стоять у лівій частині заданого рівняння, однакові). Після одержання рівняння (2) (див. розв’язання) можна використати рівність (1) справа наліво. Можна також записати праву частину рівняння (2) як степінь числа 2 або прологарифмувати обидві його частини за основою 2.

397

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Р о з в ’ я з а н н я

ОДЗ: x > 0. На цій ОДЗ задане рівняння, рівносильне рівнянням:

log2 x = 1, x = 2 (входить до ОДЗ).

Відповідь: 2.

xlog3 y + ylog3 x = 18,

Приклад 3 Розв’яжіть систему рівнянь

log3 x + log3 y = 3.

К о м е н т а р

Використаємо рівносильні перетворення системи. Для цього врахуємо ОДЗ і простежимо за тим, щоб на цій ОДЗ всі перетворення рівнянь як у прямому, так і в зворотному напрямках зберігали правильні рівності.

У першому рівнянні заданої системи запишемо всі степені як степені з ос& новою 3 (див. вище коментар до прикладу 2). Після рівносильних (на ОДЗ) перетворень першого рівняння одержуємо систему (1) (див. розв’язання), до якої змінні входять тільки у вигляді log3 x і log3 y, тому зручно використати заміну змінних. Після оберненої заміни застосовуємо означення логарифма.

Р о з в ’ я з а н н я

x > 0,

ОДЗ: y > 0. На цій ОДЗ перше рівняння заданої системи рівносильне

Тоді задана система рівносильна системі

uv = 2, Заміна log3 x = u, log3 y = v дає систему u + v = 3.

З другого рівняння останньої системи v = 3 – u, тоді з першого рівняння u(3 – u) = 2, тобто u2 – 3u + 2 = 0. Звідси u1 = 1, u2 = 2. Тоді v1 = 2, v2 = 1.

Відповідь: (3; 9), (9; 3).

398

§ 34. Розв’язування показниково;степеневих рівнянь та нерівностей

Приклад 4 Розв’яжіть нерівність | x – 4 |lg (x – 2) l | x – 4 |lg (6 – x).

Іспосіб

Ко м е н т а р

Спробуємо виконати рівносильні перетворення заданої нерівності, викорис& товуючи міркування, аналогічні тим, що застосовувалися при розв’язуванні показниково&степеневих рівнянь (див. пункт ІІ таблиці 57). Оскільки | x – 4 | l 0, то з особливих випадків потрібно розглянути тільки два: основа дорівнює 0 (тобто x = 4) і основа дорівнює 1 (тобто | x – 4 | = 1). При інших значеннях x основа — додатне число, що не дорівнює 1. Розглянемо два ви& падки: 1) основа більша за 1 (при переході до показників у заданій нерівності знак нерівності не змінюється); 2) основа менша за 1, але більша за 0 (при переході від степенів до показників у заданій нерівності знак нерівності змінюється на протилежний). При таких перетвореннях одержуємо нерівності, рівносильні заданій (на її ОДЗ), оскільки можемо гарантувати правильність не тільки прямих, а й зворотних переходів.

При розв’язуванні одержаних найпростіших логарифмічних нерівностей враховуємо, що функція y = lg t є зростаючою.

До відповіді слід включити всі розв’язки одержаних систем нерівностей і всі особливі значення, які є розв’язками заданої нерівності.

Р о з в ’ я з а н н я

x − 2 > 0,

ОДЗ: 6 − x > 0, тобто 2 < x < 6.

При x = 4 задана нерівність виконується (0lg 2 l 0lg 2, 0 l 0 — правильна нерівність), отже, x = 4 — один із розв’язків цієї нерівності.

Якщо | x – 4 | = 1 (тобто x – 4 = 1 або x – 4 = –1, отже, x = 5 або x = 3 — ці значення входять до ОДЗ), то задана нерівність теж виконується. При х = 5 і х = 3 одержуємо правильну нерівність 1 l 1. Отже, ці числа теж є роз& в’язками заданої нерівності.

При х ≠ 4, х ≠ 5 і х ≠ 3 на ОДЗ задана нерівність рівносильна такій сукуп& ності систем:

399

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Отже, 5 < x < 6 або 3 < x < 4. Враховуючи особливі значення, які є роз& в’язками, одержуємо: 3 m x m 4 або 5 m x < 6.

Відповідь: [3; 4] [5; 6).

IIспосіб розв’язування нерівності | x – 4 | lg (x – 2) l | x – 4 | lg (6 – x).

Ко м е н т а р

Розв’яжемо задану нерівність методом інтервалів, для цього зведемо її до виду f (x) l 0.

Для знаходження нулів f (x) потрібно розв’язати показниково&степеневе рівняння (2). Оскільки | x – 4 | l 0, то з особливих випадків потрібно розгля& нути тільки два — основа дорівнює 0 (тобто x = 4) або основа дорівнює 1 (тобто | x – 4 | = 1). При інших значеннях x з ОДЗ у рівнянні (3) основа — додатне число, що не дорівнює 1. Тоді можна прирівняти показники степенів (одержуємо рівняння, рівносильне заданому).

Для знаходження знаків f (x) зручно використати графіки функції у = ах при 0 < a < 1 і при a > 1.

Р о з в ’ я з а н н я

400