algebra10_нелін_дворівн

§ 29. Показникова функція, її властивості та графік

= 2−x = f (−x). Отже, графік функції y = (12 )x симетричний графіку функції y = 2x

відносно осі Oy (табл. 4, с. 28), і тому, якщо функція y = 2x є зростаючою, функція y = (12 )x обов’язково буде спадною.

Виявляється, завжди при а > 1 графік функції y = ax схожий на графік функції y = 2x, а при 0 < а < 1— на графік функції y = (12 )x (рис. 121).

Графік показникової функції називається експонентою.

2. Властивості показникової функції. Як обґрунтовувалося вище, областю ви! значення показникової функції y = ax (а > 0 , а ≠ 1) є всі дійсні числа: D (ax) = R.

Областю значень функції y = ax є множина всіх додатних чисел, тобто

функція y = ax набуває тільки додатних значень, причому будь&яке додатне число є значенням функції, тобто

Е (ах) = (0; +×).

Це означає, що графік показникової функції y = ax завжди розміщений вище осі Ox і будь&яка пряма, що паралельна осі Ox і знаходиться вище неї, перетинає цей графік.

При а > 1 функція y = ax зростає на всій області визначення, а при 0 < а < 1 функція y = ax спадає на всій області визначення.

Обґрунтування області значень та проміжків зростання і спадання показ& никової функції проводиться так: ці властивості перевіряються послідовно для натуральних, цілих, раціональних показників, а потім уже переносять& ся на довільні дійсні показники. Але слід враховувати, що при введенні по& няття степеня з ірраціональним показником ми вже користувалися зростан&

Рис. 121

331

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

ням функції , коли проводили такі міркування: оскільки 1,7 < 3 < 1,8, то 21,7 < 2 3 < 21,8. Отже, у нашій системі викладу матеріалу ми зможемо обґрун& тувати ці властивості тільки для раціональних показників, але, враховуючи громіздкість таких обґрунтувань, приймемо їх без доведення.

Усі інші властивості показникової функції легко обґрунтовуються за до& помогою цих властивостей.

Функціяy=ax неєніпарною,нінепарною,оскільки f(−x) = a−x = 1 ≠ f(x) = ax

ax

(за означенням а ≠ 1). Також f (–x) ≠ –f (x), оскільки f (–x) = a–x > 0 (за влас& тивістю 1), а –f (x) = –ax < 0.

Точки перетину з осями координат. Графік функції y = ax перетинає вісь

Oу у точці у = 1. Дійсно, на осі Oу значення х = 0, тоді y = a0 = 1.

Графік показникової функції y = ax (а > 0, а ≠ 1) не перетинає вісь Oх, оскільки на осі Oх у = 0, але значення у = 0 не входить до області значень показникової функції y = ax (y = ax = 0 тільки при а = 0, але за означенням а > 0).

Проміжки знакосталості. у > 0 при всіх дійсних значеннях x, оскільки y = ax > 0 при а > 0.

Зазначимо ще одну властивість показникової функції. Оскільки графік функції y = ax перетинає вісь Oy у точці y = 1, то, враховуючи зростання функції при а > 1 та спадання при 0 < а < 1, одержуємо такі співвідношення між значеннями функції і відповідними значеннями аргументу:

Функція y = ax не має ні найбільшого, ні найменшого значень, оскільки її область значень — проміжок (0; +×), який не містить ні найменшого, ні най& більшого числа.

Властивості показникової функції, вказані в пункті 8 таблиці 49:

було обґрунтовано в розділі 3.

Зазначимо ще одну властивість показникової функції, яка виділяє її з ряду інших функцій: якщо f (x) = ax (а > 0 , а ≠ 1), то при будь!яких дійсних значен! нях аргументів x1 і x2 виконується рівність

f (x1)æf (x2) = f (x1 + x2) .

332

§ 29. Показникова функція, її властивості та графік

y = ax (а > 0, а ≠ 1).

Крім загальних властивостей показникової функції при а > 1 і при 0 < а < 1, відзначимо деякі особливості поведінки графіків показникових функцій при конкретних значеннях а. Так, на рисунку 122 наведено графіки показнико&

Порівнюючи ці графіки, можна зробити висновок: чим більша основа а > 1,

тим крутіше піднімається графік функції у = ах при русі точки вправо і тим швидше графік наближається до осі Оx при русі точки вліво. Аналогічно, чим менша основа 0 < а < 1, тим крутіше піднімається графік функції у = ах при русі точки вліво і тим швидше графік наближається до осі Оx при русі точки вправо.

Завершуючи розмову про показникову функцію, укажемо на ті причини, які заважають розглядати показникові функції з від’ємною чи нульовою ос& новою.

Зауважимо, що вираз ах можна розглядати і при а = 0 і при а < 0. Але в цих випадках він уже буде означений не при всіх дійсних значеннях х, як показ& никова функція у = ах. Зокрема, вираз 0х означений при всіх х > 0 (і тоді 0х = 0), а вираз (–2)х — при всіх цілих значеннях х (наприклад,

а = 0 (одержуємо постійну функцію при х > 0) та а < 0 (одержуємо функцію, означену тільки при досить «рідких» значеннях x: х Z). Але наведені мірку& вання стосовно доцільності вибору основи показникової функції не вплива& ють на область допустимих значень виразу ах (наприклад, як ми бачили вище, пара значень а = –2, х = –3 входить до його ОДЗ, і це доводиться враховувати при розв’язуванні деяких завдань).

333

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Приклади розв’язання завдань

Приклад 1 Порівняйте значення виразів:

Приклад 2 Порівняйте з одиницею додатну основу а, якщо відомо, що виконується нерівність:

334

§ 29. Показникова функція, її властивості та графік

Приклад 3 Побудуйте графік функції:

К о м е н т а р

При а > 0 значення ах > 0, отже, графік функції y = ax завжди розміщений вище осі Ox. Цей графік перетинає вісь Oy в точці y = 1 (a0 = 1).

При а > 1 показникова функція (у = 1,7х ) зростає, отже, її графіком буде крива (експонента), точки якої при збільшенні аргументу піднімаються вгору.

При 0 < а < 1 показникова функція (у= 0,3х ) спадає, отже, графіком функції y = ax буде крива, точки якої при збільшенні аргументу опускаються вниз. (Нагадаємо, що, опускаючись вниз, графік наближається до осі Оx, але ніко& ли її не перетинає.)

Щоб уточнити поведінку графіків заданих функцій, знайдемо координати кількох додаткових точок.

Р о з в ’ я з а н н я

335

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Запитання для контролю

1.Дайте означення показникової функції.

2.Побудуйте графіки показникової функції у = ах при а > 1 та при 0 < а < 1 (виберіть конкретні значення а). Через яку точку проходять графіки всіх показникових функцій ?

3.Користуючись графіком показникової функції у = ах (при а > 1 та при 0 < а < 1 ), охарактеризуйте її властивості.

4*. Обґрунтуйте властивості функції у = ах (а > 0, а ≠ 1).

5.Використовуючи зростання чи спадання відповідної показникової функції, порівняйте значення: а) 75 та 79; б) 0,75 та 0,79.

Вправи

336

§ 29. Показникова функція, її властивості та графік

3.Знаючи, що a > b > 1, зобразіть схематично в одній системі координат графіки функцій у = aх і у = bх.

4.Знайдіть область значень функції:

10) 0,2 –10 та 5 11.

7.Порівняйте показники т і п, якщо відомо, що є правильною нерівність:

8)( 2 − 1)m < ( 2 − 1)n .

8.Порівняйте з одиницею додатну основу а, якщо відомо, що є правильною нерівність:

337

§30. Розв’язування показникових рівнянь та нерівностей

Пр о д о в ж. т а б л. 50

2.Схема рівносильних перетворень найпростіших показникових рівнянь

339

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Рис. 123

Пояснення й обґрунтування

Показниковими звичайно називають рівняння, у яких змінна входить у по& казник степеня (а основа цього степеня не містить змінної).

Розглянемо найпростіше показникове рівняння

де a > 0 і a ≠ 1. Оскільки при цих значеннях a функція y = ax строго монотонна (зростає при a > 1 і спадає при 0 < a < 1), то кожного свого значення вона набуває тільки при одному значенні аргументу. Це означає, що рівняння ax = b при b > 0 має єдиний корінь. Щоб його знайти, досить подати b у вигляді b = ac.

Очевидно, що x = с є коренем рівняння ax = ac. Графічно це проілюстровано на рисунку 123.

Наприклад, щоб розв’язати рівняння 7x = 49, досить подати це рівняння у вигляді 7x = 72 і записати його єдиний корінь x = 2.

Якщо b m 0, то рівняння ax = b (при a > 0) коренів не має, оскільки ax

завжди більше нуля. (На графіках, наведених на рисунку 124, пряма y = b не перетинає графік функції y = ax при b m 0.)

Наприклад, рівняння 7x = –7 не має коренів.

Узагальнюючи наведені вище міркування стосовно розв’язування най& простіших показникових рівнянь, відзначимо, що при a > 0 і a ≠ 1 рівняння

Рис. 124

340