algebra10_нелін_дворівн

§21. Розв’язування нерівностей. Рівняння і нерівності з модулями

Пр о д о в ж. т а б л. 40

2.Використання геометричного змісту модуля (при a > 0)

1.| f (x) | = a f (x) = a або f (x) = –a.

2.| f (x) | = | g (x) | f (x) = g (x) або f (x) = –g (x).

3.| f (x) | > a f (x) < –a або f (x) > a.

6. | f (x) | > g (x) f (x) < –g (x) або f (x) > g (x).

3.Використання спеціальних співвідношень

1.| u | = u u l 0.

2.| u | = –u u m 0.

3.| u | = | v | u2 = v2.

4.| u | > | v | u2 > v2. Тоді | u | – | v | > 0 u2 – v2 > 0;

знак різниці модулів двох виразів збігається із знаком різниці їх квадратів.

u m 0,

6. u + v = −u − v m

v 0.

7.| u | + | v | = | u + v | uv l 0.

8.| u | + | v | = | u – v | uv m 0.

9.| x – a | + | x – b | = b – a a m x m b, де a < b.

241

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

Пояснення й обґрунтування

Розв’язувати будь яке рівняння або нерівність з модулем можна одним з трьох основних способів: за означенням модуля, виходячи з геометричного змісту модуля або за загальною схемою. Деякі рівняння або нерівність з моду лем можуть бути також розв’язані з використанням спеціальних співвідно шень (табл. 40).

Залежно від обраного способу розв’язування одержуємо різні записи роз в’язання.

Приклад Розв’яжіть рівняння | 2x – 4 | = 6.

I спосіб (за означенням модуля)

II спосіб (використовуючи геометричний зміст модуля)

З а у в а ж е н н я. При застосуванні геометричного змісту модуля знак мо дуля розкривається неявно, тобто не доводиться використовувати означення в явному вигляді.

242

§ 21. Розв’язування нерівностей. Рівняння і нерівності з модулями

Загальна схема розв’язування рівнянь та нерівностей з модулями — це фактично трохи змінений метод інтервалів. Пояснимо зміст цієї схеми на при кладі рівняння з двома модулями виду

| f (x) | + | g (x) | = a (a > 0).

(Щоб розв’язати це рівняння, необхідно розкрити знаки модулів, а для цього необхідно знати, де функції f (x) і g (x) будуть додатними, а де — від’ємни ми. Тобто фактично ми повинні розв’язати нерівності

Кожну з цих нерівностей ми вміємо розв’язувати методом інтервалів. Пе ребудуємо прийом розв’язування нерівностей методом інтервалів таким чином, щоб він давав можливість одночасно розв’язувати кожну з останніх нерівностей. Як відомо, розв’язування нерівності (1) методом інтервалів починається із знаходження її ОДЗ (тобто області визначення функції f (x)), а розв’язування нерівності (2) — із знаходження її ОДЗ (тобто області ви значення функції g (x)). Щоб почати одночасно розв’язувати обидві не рівності, необхідно знайти спільну область визначення для функцій f (x)

іg (x), тобто знайти ОДЗ заданого рівняння (це і є перший з орієнтирів

потрібної схеми).

Щоб продовжити розв’язування нерівностей f (x) 0 та g (x) 0 методом інтервалів, необхідно знайти нулі функцій f (x) і g (x), тобто знайти нулі всіх підмодульних функцій (це і є другий орієнтир).

Якщо далі використовувати схему методу інтервалів одночасно для двох нерівностей, необхідно на ОДЗ позначити нулі підмодульних функцій і розбити ОДЗ на проміжки (це третій орієнтир).

У кожному з одержаних проміжків знаки функцій f (x) і g (x) не можуть змінитися. Oтже, ми можемо знайти знаки підмодульних функцій на кож ному проміжку (у будь якій точці цього проміжку), розкрити знаки мо дулів і знайти розв’язок заданого рівняння в кожному з цих проміжків (це

іє четвертий орієнтир загальної схеми). )

Обґрунтування можливості застосування наведеної схеми до розв’язування нерівностей з модулями проводиться аналогічно.

Приклади розв’язання завдань

1. ОДЗ: х ≠ 1.

243

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

3. Нулі 0 і 2 розбивають ОДЗ на чотири про міжки, у яких підмодульні функції мають знаки,* показані на рисунку.

4.Знаходимо розв’язки заданого рівняння в кожному з проміжків (оскільки знаки підмодульних функцій однакові на проміжках І і ІІІ, зручно для роз

в’язання об’єднати ці проміжки).

Проміжки І та ІІІ: х (–×; 0) (1; 2). Враховуючи знаки підмодульних функцій на цих проміжках і означення модуля, одержуємо, що в цих

Звідси х = 0 або х = 2. У розглянуті проміжки одержані значення не входять, отже, у цих проміжках коренів немає.

Проміжок ІІ: х [0; 1). (Слід звернути увагу на те, щоб не пропустити значення х = 0, яке входить в ОДЗ.) У цьому проміжку одержуємо

рівняння − x − (x − 2) = 2. Звідси х = 0 — корінь, оскільки входить

x − 1

у цей проміжок.

Проміжок ІV: х [2; +×). (І в цьому проміжку необхідно не забути значен

оскільки входить у цей проміжок.

Об’єднуючи всі розв’язки, які ми одержали в кожному проміжку, маємо розв’язок заданого рівняння на всій ОДЗ.

Відповідь: 0; 2.

Проілюструємо також одержання і використання спеціальних співвідно шень, наведених у таблиці 40.

u l 0, Обґрунтуємо, наприклад, співвідношення 5: u + v = u + v v l 0.

(Запишемо задану рівність у вигляді u + v = | u | + | v | і проаналізуємо її, спираючись на відомі з 6 класу правила дій над числами з однаковими і з різними знаками. Щоб додати два числа u і v, ми додали їх модулі, отже, ці

числа мають однакові знаки. Якби ці числа були обидва від’ємні, то і їх сума була б теж від’ємна, але u + v = | u | + | v | l 0. Тоді одержуємо, що числа

u l 0,

u і v — обидва невід’ємні. Навпаки, якщо v l 0, то виконується рівність

x

* На рисунку в кожному з проміжків перший знак — це знак функції x − 1, а дру

гий — знак функції х – 2. При виконанні рисунка зручно спочатку позначити на число вій прямій ОДЗ, а потім нулі підмодульних функцій на ОДЗ.

244

§ 21. Розв’язування нерівностей. Рівняння і нерівності з модулями

u + v = | u | + | v |. Отже, дійсно, рівняння | u | + | v | = u + v рівносильне системі

u l 0, нерівностей v l 0. )

Приклад 2* Розв’яжіть рівняння | x – 5 | + | 2x + 5 | = 3x.

При розв’язуванні нерівностей з модулями міркування, пов’язані з роз криттям знаків модулей, повністю аналогічні міркуванням, які використо вувалися при розв’язуванні рівнянь із модулями.

Приклад 3 Розв’яжіть нерівність | 2x – 5 | m 7.

245

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

1. ОДЗ: | x – 2 | – 1 ≠ 0. Тоді | x – 2 | ≠ 1, тобто x – 2 ≠ ä1, отже: х ≠ 3 або х ≠ 1.

2.Нулі підмодульних функцій: х – 3 = 0 (х = 3 — не входить до ОДЗ) та х – 2 = 0 (х = 2).

3. Нуль 2 розбиває ОДЗ на чотири проміжки, на яких підмодульні функції мають знаки, показані на рисунку (на кожному з проміжків перший знак — це знак функції х – 3, а дру гий — знак функції х – 2).

4.Знаходимо розв’язки заданої нерівності в кожному з проміжків (оскільки знаки підмодульних функцій є однаковими на проміжках І і ІІ, зручно для розв’язання об’єднати ці проміжки).

Проміжки І та ІІ: х (–×; 1) (1; 2]. Враховуючи знаки підмодульних функцій у цих проміжках і означення модуля, одержуємо, що при

входять всі значення x < 1, отже, у цьому випадку розв’язком буде x < 1. Проміжок ІІІ: х [2; 3). На цьому проміжку одержуємо нерівність

міжку остання нерівність перетворюється на хибну нерівність (–1 l 1). Отже, у проміжку ІІІ нерівність (1) розв’язків не має.

Проміжок ІV: х (3; +×). У цьому проміжку одержуємо нерівність

нерівність (1) перетворюється на правильну числову нерівність (1 l1). Отже, розв’язком нерівності (1) у IV проміжку є будь яке число з цього проміжку (x > 3).

Об’єднуючи всі розв’язки, які ми одержали в кожному з проміжків, має мо розв’язок заданої нерівності на всій ОДЗ: x < 1 або x > 3.

Відповідь: (–×; 1) (3; +×).

Зазначимо, що для розв’язування деяких нерівностей з модулями зручно використовувати також спеціальні співвідношення, наведені в таблиці 40.

246

§ 21. Розв’язування нерівностей. Рівняння і нерівності з модулями

Приклад 5* Розв’яжіть нерівність ( x − 1 − x + 3 )( 2x − x + 6 ) < 0.

1 − x − x + 2

Оскільки | a | l 0 і функція y = t2 монотонно зростає на множині невід’єм них чисел, то всі різниці модулів у нерівності можна замінити на різниці їх квадратів (тобто скористатися співвідношенням 4: | u | – | v | > 0 u2 – v2 > 0). Тоді одержуємо нерівність, рівносильну заданій нерівності

((x − 1)2 − (x + 3)2 )((2x )2 − (x + 6)2 ) < 0. (1 − x)2 − (x + 2)2

Тепер, розкладаючи на множники всі різниці квадратів, маємо:

(−4)(2x + 2)(x − 6)(3x + 6) <

(−1 − 2x)3 0.

Далі методом інтервалів одержуємо

–2 < x < –1 або − 1 < x < 6.

2

Відповідь: –2 < x < –1 або − 1 < x < 6.

2

Загальна схема, запропонована в таблиці 40, може бути використана не тільки при розв’язуванні рівнянь чи нерівностей з модулями, але й при вико нанні перетворень виразів із модулями.

Наприклад, для побудови графіка функції f (x) = | x + 1 | + | x – 1 | зручно спочатку за загальною схемою розкрити знаки модулів, а вже потім будувати графік функції f (x).

Оформлення розв’язання подібного прикладу може бути таким.

Приклад 6 Побудуйте графік функції f (x) = | x + 1 | + | x – 1 |.

1. Область визначення функції: x R.

2.Нулі підмодульних функцій: х = –1 і х = 1.

3.Позначаємо нулі на області визначення і

розбиваємо область визначення на проміжки (на рисунку також указано знаки підмодуль них функцій у кожному з проміжків).

−2x, якщо x m − 1,

= − m m

Отже, f (x) 2, якщо 1 x 1,

2x, якщо x l1.

Будуємо графік цієї функції (див. рисунок).

247

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

Запитання для контролю

1.Поясніть, якими способами можна розв’язувати рівняння та нерівності з модулями. Проілюструйте ці способи на прикладах.

2.Обґрунтуйте спеціальні співвідношення, наведені в таблиці 40. Проілюст руйте їх застосування до розв’язування рівнянь та нерівностей з модулями.

3.Обґрунтуйте узагальнення використання геометричного змісту модуля, наведені в таблиці 40. Проілюструйте їх застосування до розв’язування рівнянь та нерівностей з модулями.

Вправи

Розв’яжіть рівняння і нерівності з модулями (1–15).

248

§22 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НЕРІВНОСТЕЙ

Т а б л и ц я 41

1. Приклади розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

249

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

П р о д о в ж. т а б л. 41

2. Способи розв’язування більш складних тригонометричних нерівностей

а) Використання рівносильних перетворень і, зокрема, зведення до ал гебраїчної нерівності за схемою: 1) до одного аргументу, 2) до однієї функції, 3) заміна змінної (аналогічно до схеми розв’язування триго нометричних рівнянь, наведеної на с. 170) і наступне розв’язування одержаних найпростіших тригонометричних нерівностей.

б) Використання методу інтервалів (після зведення нерівності до вигляду f (x) 0) за схемою:

1)Знайти ОДЗ нерівності.

2)Знайти спільний період (якщо він існує) для всіх функцій, що вхо дять до запису нерівності, тобто період функції f (x).

3)Знайти нулі функції: f (x) = 0.

4)Позначити нулі функції на ОДЗ всередині одного періоду і знайти знак функції f (x) у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ

(всередині одного періоду).

5)Записати відповідь, враховуючи знак заданої нерівності і період функції f (x).

Пояснення й обґрунтування

1. Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей. Найпрос тішими тригонометричними нерівностями вважають нерівності виду sin x > a, cos x > a, tg x > a, ctg x > a (на місці знаку «>» може стояти будь який із знаків нерівності: «<, l, m»).

Щоб зробити міркування по знаходженню розв’язків цих нерівностей більш наочними, використовують одиничне коло або графіки відповідних функцій, як це показано в першому пункті таблиці 41.

250