algebra10_нелін_дворівн

§ 31. Логарифм числа. Властивості логарифмів

Зазначимо, що одержана формула справедлива і при x > 0 та у > 0, оскіль& ки в цьому випадку | x | = х і | у | = у. Отже,

4. Формула переходу до логарифмів з іншою основою.

(Нехай loga х = u (х > 0, а > 0, а ≠ 1). Тоді за означенням логарифма аu = х. Прологарифмуємо обидві частини останньої рівності за основою b (b > 0,

b ≠ 1). Одержимо log аu = log х .

log a x = log b x ,

log b a

де а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, х > 0. Отже, логарифм додатного числа х за старою основою а дорівнює лога! рифму цього самого числа х за новою основою b, поділеному на логарифм старої основи а за новою основою b. )

За допомогою останньої формули можна одержати такі н а с л і д к и.

1) loga b = logb b . Враховуючи, що logb b = 1, маємо

де а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1.

2)Аналогічно, враховуючи формулу переходу від однієї основи логарифма до іншої і формулу логарифма степеня, одержуємо (при k ≠ 0)

Записавши одержану формулу справа наліво, маємо

loga b = logak bk ,

де а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, k ≠ 0.

361

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Приклади розв’язання завдань

Приклад 1 Обчисліть: 1) log5 125; 2) log 1 3.

27

через логарифми за основою 3 чисел a і b. (Коротко кажуть: «Прологарифмуйте заданий вираз за основою 3».)

362

§ 31. Логарифм числа. Властивості логарифмів

Після цього врахуємо, що кожен

1

з логарифмів степенів (33; a2; b5 ) до&

рівнює добутку показника степеня на логарифм основи цього степеня, а та& кож те, що log3 3 = 1.

Приклад 4 Відомо, що log2 5 = a, log2 7 = b. Виразіть log2 700 через a і b.

Інколи доводиться шукати вираз, знаючи його логарифм. Таку операцію називають потенціюванням.

Приклад 6 Знайдіть x за даним його логарифмом:

1) lg x = lg 5 – 2lg 3 + 3lg 2; 2) loga x = 1 loga b + 5loga c − loga p.

2

363

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Запитання для контролю

1.Дайте означення логарифма додатного числа b за основою а (а > 0, а ≠ 1).

2.Який логарифм називають десятковим логарифмом і який натуральним логарифмом? Наведіть приклади запису і обчислення таких логарифмів.

3.1) Запишіть основну логарифмічну тотожність. Наведіть приклади її ви& користання.

2*) Обґрунтуйте основну логарифмічну тотожність.

4.1) Запишіть і сформулюйте формули логарифмування. Наведіть приклади їх використання.

2*) Обґрунтуйте формули логарифмування.

5.1) Запишіть формулу переходу від однієї основи логарифма до іншої. На& ведіть приклади її використання.

2*) Обґрунтуйте формулу переходу від однієї основи логарифма до іншої.

6*. Чи можна в тому випадку, коли значення x і y обидва від’ємні, прологариф& мувати вирази: xy, xy, x4? Як це зробити? Обґрунтуйте відповідні формули.

364

§ 31. Логарифм числа. Властивості логарифмів

3°. Користуючись означенням логарифма, запишіть розв’язки найпростіших показникових рівнянь:

1) 4х = 9; 2) (14 )x = 15; 3) 10х = 11; 4) 5х = 19; 5) 0,2х = 0,7; 6) ех = 3.

4. Користуючись основною логарифмічною тотожністю, спростіть вираз:

5.Прологарифмуйте даний вираз за заданою основою, знаючи, що а > 0, b > 0, c > 0:

6*. Прологарифмуйте даний вираз за основою 10, знаючи, що аb > 0 і с ≠ 0:

365

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

10*. Обчисліть значення виразу:

2)Знайдіть log9 15, якщо log45 25 = a;

3)Знайдіть log175 56, якщо log14 7 = a і log5 14 = b;

4)Знайдіть log150 200, якщо log20 50 = a і log3 20 = b.

§32 ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЯ, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК

Т а б л и ц я 54

Оз н а ч е н н я. Логарифмічною функцією називається функція виду

у= loga х, де а > 0, а ≠ 1.

1.Графік логарифмічної функції

Функції у = аx та у = loga х (а > 0, а ≠ 1) — взаємно обернені функції, тому їх графіки симетричні відносно прямої у = х.

2. Властивості логарифмічної функції

366

§32. Логарифмічна функція, її властивості та графік

Пр о д о в ж. т а б л. 54

4.Точки перетину з осями координат:

Пояснення й обґрунтування

1. Поняття логарифмічної функції та її графік. Логарифмічною функцією називається функція виду у = loga х, де а > 0, а ≠ 1.

Покажемо, що ця функція є оберненою до функції у = аx.

(Дійсно, показникова функція f (х) = аx при а > 1 зростає на множині R,

апри 0 < а < 1 — спадає на множині R. Область значень функції f (х) = аx — проміжок (0; +×). Отже, функція f (х) оборотна (с. 141) і має обернену функцію з областю визначення (0; +×) і областю значень R. Нагадаємо, що для запису формули оберненої функції досить з рівності у = f (х) вирази& ти х через у і в одержаній формулі х = g (у) аргумент позначити через х,

афункцію — через у.

Тоді з рівняння у = аx (а > 0, а ≠ 1) за означенням логарифма одержуємо х = loga у — формулу оберненої функції, у якій аргумент позначено через у, а функцію — через х. Змінюючи позначення на традиційні, маємо формулу у = loga х — функції, оберненої до функції у = аx. )

367

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

Як відомо, графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно пря& мої у = х. Отже, графік функції у = loga х (а > 0, а ≠ 1) можна одержати із графіка функції у = ах симетричним відображенням відносно прямої у = х. На рисунку 127 наведено графіки логарифмічних функцій при а > 1 та при 0 < а < 1. Графік логарифмічної функції називають логарифмічною кривою.

2. Властивості логарифмічної функції. Властивості логарифмічної функції, наведені в пункті 8 таблиці 54, було обґрунтовано в § 31. Інші властивості функції у = loga х або прочитаємо з одержаного графіка цієї функції, або об& ґрунтуємо їх, спираючись на властивості функції у = ах.

Оскільки область визначення прямої функції є областю значень оберненої, а область значень прямої функції — областю визначення оберненої, то, знаю& чи ці характеристики для функції у = ах, одержуємо відповідні характеристи& ки для функції y = loga x:

1)Oбластю визначення функції у = loga х є множина R+ всіх додатних чисел

(х > 0);

2)Областю значень функції у = loga х є множина R всіх дійсних чисел (тоді функція y = loga x не має ні найбільшого, ні найменшого значень).

3)Функція у = loga х не може бути ні парною, ні непарною, оскільки її область визначення не симетрична відносно точки 0.

4)Графік функції у = loga х не перетинає вісь Oу, оскільки на осі Oу х = 0, а це значення не входить до області визначення функції у = loga х.

368

§ 32. Логарифмічна функція, її властивості та графік

Графік функції у = loga х перетинає вісь Oх у точці х = 1, оскільки loga 1 = 0 при всіх значеннях а (а > 0, а ≠ 1).

5) З графіків функції у = loga х, наведених на рисунку 127, видно, що

при а > 1 функція у = loga х зростає на всій області визначення, а при 0 < а < 1 — спадає на всій області визначення.

(Цю властивість можна обґрунтувати, не спираючись на вид графіка, а спи& раючись тільки на властивості функції у = аx.

Наприклад, при а > 1 візьмемо x2 > x1 > 0. За основною логарифмічною тотожністю можна записати: x1 = aloga x1, x2 = aloga x2. Тоді, враховуючи, що

х2 > х1, маємо aloga x2 > aloga x1. Оскільки при а > 1 функція у = аx є зростаю&

чою, то з останньої нерівності одержуємо loga x2 > loga x1. А це й означає, що при а > 1 функція у = loga х зростає на всій області визначення.

Аналогічно можна обґрунтувати, що при 0 < а < 1 функція у = loga х спадає на всій області визначення. )

6)Проміжки знакосталості. Оскільки графік функції у = loga х перетинає вісь Oх у точці х = 1, то, враховуючи зростання функції при а > 1 та спадан& ня при 0 < а < 1, маємо:

369

РОЗДІЛ 4. Показникова і логарифмічна функції

3)у = log7 (х2 – х).

Область визначення задається

нерівністю х2 – х > 0. Розв’язуючи цю квадратну нерівність одержуємо x < 0 або x > 1 (див. рисунок).

Тобто D (y) = (–×; 0) (1; +×).

Приклад 2 Зобразіть схематично графік функції:

1) у = log2 х; 2) y = log1 x.

2

370